Wie bereits erwähnt, können Sie Ihre Mitarbeiter jederzeit auf eine binäre diskrete Verteilung verweisen. Aber sie könnten das "Betrügen" in Betracht ziehen und sich auf die schwächere Behauptung zurückziehen, dass die vorgeschlagene Aussage nur für kontinuierliche Verteilungen gilt.

Verwenden Sie also die gleichmäßige Verteilung für das Einheitsintervall $ [0,1] $ span>. Es hat einen Mittelwert von $ \ mu = 0,5 $ span>, eine Varianz von $ \ frac {1} {12} $ , also eine Standardabweichung von $ \ sigma = \ frac {1} {\ sqrt {12}} \ ca. 0,289 $ span>. Aber natürlich ist das Intervall $ [\ mu- \ sigma, \ mu + \ sigma] \ ungefähr [0.211,0.789] $ span> der Länge $ 2 \ sigma \ ca. 0,577 $ span> enthält nur $ 57,7 \% $ span> Ihrer Daten (genauer gesagt: Mit zunehmender Stichprobengröße nähert sich der Anteil $ 0.577 $ span>), nicht $ 68 \% $ span>, unabhängig davon, wie viele Datenpunkte Sie abtasten.

Dies ist ein allgegenwärtiges Missverständnis des zentralen Grenzwertsatzes, auf den ich auch in meinem statistischen Unterricht gestoßen bin. Im Laufe der Jahre bin ich so oft auf dieses Problem gestoßen, dass ich eine sokratische Methode entwickelt habe, um damit umzugehen. Ich identifiziere einen Schüler, der diese Idee akzeptiert hat, und beauftrage den Schüler, herauszufinden, was dies logisch bedeuten würde. Es ist ziemlich einfach, zur reductio ad absurdum der falschen Version des Theorems zu gelangen, dh jede Folge von IID-Zufallsvariablen hat eine Normalverteilung . Ein typisches Gespräch würde ungefähr so ​​verlaufen.

Teacher: Ich habe in dieser Zuweisungsfrage festgestellt, dass Sie gesagt haben, dass die Daten ungefähr normal verteilt sind, weil $ n $ span> groß ist. Können Sie mich durch Ihre Überlegungen zu diesem Teil führen?

Student: Ist das falsch?

Teacher: Ich weiß es nicht. Schauen wir es uns an.

Student: Nun, ich habe diesen Satz verwendet, über den Sie im Unterricht gesprochen haben. das Haupt, das du ein paar Mal erwähnt hast. Ich habe den Namen vergessen.

Teacher: Der zentrale Grenzwertsatz?

Student: Ja, der zentrale Grenzwertsatz.

Teacher: Großartig, und wann gilt dieser Satz?

Student: Ich denke, wenn die Variablen IID sind.

Teacher: Und haben endliche Varianz.

Student: Ja, und endliche Varianz.

Teacher: Okay, die Zufallsvariablen haben also eine feste Verteilung mit endlicher Varianz, stimmt das?

Student: Ja.

Teacher: Und die Verteilung ändert sich nicht oder so?

Student: Nein, sie sind IID mit einer festen Verteilung.

Teacher: Okay, großartig, also lassen Sie mich sehen, ob ich den Satz aufstellen kann. Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass wenn Sie eine IID-Folge von Zufallsvariablen mit endlicher Varianz haben und eine Stichprobe von $ n $ span> von ihnen nehmen, dann als diese Stichprobengröße $ n $ span> wird groß Die Verteilung der Zufallsvariablen konvergiert zu einer Normalverteilung. Ist das richtig?

Student: Ja, ich denke schon.

Teacher: Okay, großartig, also lassen Sie uns darüber nachdenken, was das bedeuten würde. Angenommen, ich habe eine solche Sequenz. Wenn ich beispielsweise tausend Stichprobenwerte nehme, wie ist die Verteilung dieser Zufallsvariablen?

Student: Es handelt sich ungefähr um eine Normalverteilung.

Teacher: Wie nah?

Student: Ziemlich nah, denke ich.

Teacher: Okay, was ist, wenn ich eine Milliarde Stichprobenwerte nehme? Wie nah jetzt?

Student: Wirklich nah würde ich sagen.

Teacher: Und wenn wir eine Folge dieser Dinge haben, können wir theoretisch $ n $ span> so hoch nehmen, wie wir wollen, nicht wahr? So können wir die Verteilung einer Normalverteilung so nahe bringen, wie wir möchten.

Student: Ja.

Teacher: Nehmen wir also an, wir nehmen $ n $ span> groß genug, um zu sagen, dass die Zufallsvariablen grundsätzlich eine Normalverteilung haben. Und das ist eine feste Verteilung, oder?

Student: Ja.

Teacher: Und sie sind IID, oder? Diese Zufallsvariablen sind IID?

Student: Ja, sie sind IID.

Teacher: Okay, sie haben alle die gleiche Verteilung.

Student: Ja.

Teacher: Okay, das heißt, der erste Wert in der Sequenz hat auch eine Normalverteilung. Ist das richtig?

Student: Ja. Ich meine, es ist eine Annäherung, aber ja, wenn $ n $ span> wirklich groß ist, hat es effektiv eine Normalverteilung.

Teacher: Okay, großartig. Und der zweite Wert in der Sequenz und so weiter, richtig?

Student: Ja.

Teacher: Okay, also wirklich, als wir mit dem Sampling begannen, erhielten wir bereits Werte, die im Wesentlichen normalverteilt sind. Wir mussten nicht wirklich warten, bis $ n $ span> groß wird, bevor dies begann.

Student: Hmmm. Ich bin mir nicht sicher. Das klingt falsch. Der Satz besagt, dass Sie einen großen $ n $ span> benötigen. Ich denke, Sie können ihn nicht anwenden, wenn Sie nur eine kleine Anzahl von Werten abgetastet haben.

Teacher: Okay, nehmen wir an, wir nehmen eine Milliarde Werte ab. Dann haben wir große $ n $ span>. Und wir haben festgestellt, dass dies bedeutet, dass die ersten Zufallsvariablen in der Sequenz in sehr enger Näherung normal verteilt sind. Wenn das stimmt, können wir dann nicht einfach früh aufhören zu probieren? Angenommen, wir würden eine Milliarde Werte abtasten, aber dann hören wir auf, nach dem ersten Wert abzutasten. War diese Zufallsvariable noch normal verteilt?

Student: Ich denke, vielleicht ist es nicht so.

Teacher: Okay, also ändert sich irgendwann die Verteilung?

Student: Ich bin mir nicht sicher. Ich bin jetzt etwas verwirrt.

Teacher: Hmmm, es scheint, dass hier etwas Seltsames los ist. Warum lesen Sie das Material im zentralen Grenzwertsatz nicht noch einmal und sehen, ob Sie herausfinden können, wie Sie diesen Widerspruch auflösen können. Sprechen wir dann mehr darüber.

Dies ist ein möglicher Ansatz, der versucht, den falschen Satz auf die reductio zu reduzieren, die besagt, dass jede IID-Sequenz (mit endlicher Varianz) aus normalen Zufallsvariablen bestehen muss. Entweder kommt der Schüler zu dieser Schlussfolgerung und stellt fest, dass etwas nicht stimmt, oder er verteidigt sich gegen diese Schlussfolgerung, indem er sagt, dass sich die Verteilung ändert, wenn $ n $ span> groß wird. In beiden Fällen führt dies normalerweise zu weiteren Überlegungen, die dazu führen können, dass sie den Satz erneut lesen. Hier ist ein anderer Ansatz:

Teacher: Schauen wir uns das anders an. Angenommen, wir haben eine IID-Sequenz von Zufallsvariablen aus einer anderen Verteilung. eine, die not eine Normalverteilung ist. Ist das möglich? Könnten wir zum Beispiel eine Folge von Zufallsvariablen haben, die das Ergebnis des Münzwurfs aus der Bernoulli-Verteilung darstellen?

Student: Ja, das können wir haben.

Teacher: Okay, großartig. Und das sind alles IID-Werte, also haben sie wieder alle die gleiche Verteilung. Also wird jede Zufallsvariable in dieser Sequenz eine Verteilung haben, die keine Normalverteilung ist, oder?

Student: Ja.

Teacher: In diesem Fall ist jeder Wert in der Sequenz das Ergebnis eines Münzwurfs, den wir als Null oder Eins festlegen. Ist das richtig?

Student: Ja, solange wir sie so kennzeichnen.

Teacher: Okay, großartig. Wenn also alle Werte in der Sequenz Nullen oder Einsen sind, Egal wie viele von ihnen wir abtasten, wir werden immer ein Histogramm erhalten, das Werte bei Null und Eins zeigt, oder?

Student: Ja.

Teacher: Okay. Und denken Sie, wenn wir immer mehr Werte abtasten, werden wir der wahren Verteilung immer näher kommen? Wenn es sich um eine faire Münze handelt, konvergiert das Histogramm schließlich dort, wo die relativen Frequenzbalken dieselbe Höhe haben?

Student: Ich denke schon. Ich denke schon.

Teacher: Ich denke, Sie haben Recht. Tatsächlich nennen wir dieses Ergebnis das "Gesetz der großen Zahlen". Wie auch immer, es scheint, als hätten wir hier ein kleines Problem, nicht wahr? Wenn wir eine große Anzahl von Werten abtasten, sagt der zentrale Grenzwertsatz, dass wir zu einer Normalverteilung konvergieren, aber es klingt so, als ob das "Gesetz der großen Zahlen" besagt, dass wir tatsächlich zu der wahren Verteilung konvergieren, die keine Normalverteilung ist. Tatsächlich handelt es sich um eine Verteilung, bei der es sich nur um Wahrscheinlichkeiten für den Nullwert und den Ein-Wert handelt, die der Normalverteilung nicht ähneln. Also was ist es?

Student: Ich denke, wenn $ n $ span> groß ist, sieht es wie eine Normalverteilung aus.

Teacher: Beschreibe es mir also. Nehmen wir an, wir haben die Münze milliardenfach geworfen. Beschreiben Sie die Verteilung der Ergebnisse und erklären Sie, warum dies wie eine Normalverteilung aussieht.

Student: Ich bin mir nicht sicher, wie ich das machen soll.

Teacher: Okay. Stimmen Sie zu, dass bei einer Milliarde Münzwürfen alle diese Ergebnisse Nullen und Einsen sind?

Student: Ja.

Teacher: Okay, beschreiben Sie also, wie das Histogramm aussieht.

Student: Diese Werte enthalten nur zwei Balken.

Teacher: Okay, also nicht "Glockenkurve" geformt?

Student: Ja, ich denke nicht.

Teacher: Hmmm, vielleicht sagt der zentrale Grenzwertsatz nicht, was wir dachten.Warum lesen Sie das Material zum zentralen Grenzwertsatz nicht noch einmal und sehen, ob Sie herausfinden können, was darin steht?Sprechen wir dann mehr darüber.

Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass der mean der Daten mit zunehmender Stichprobengröße normal verteilt wird. Er sagt nothing über die Daten selbst. Eine andere Möglichkeit ist, dass die Verteilung des -Parameters (der Mittelwert) normal ist, dies ist jedoch völlig unabhängig von der Verteilung der zugrunde liegenden Daten .

Der größte Teil des CLT-Werts ergibt sich aus der Tatsache, dass Sie Beispiele vergleichen können, bei denen not normalerweise untereinander verteilt ist (allein aufgrund der Tatsache, dass Sie aufgrund des CLT wissen, wie ihre Mittel sollten sich verhalten).

Ich denke, dies wird verwirrend, wenn Sie nur zwei Stichprobenmittelwerte miteinander vergleichen können, basierend auf einem Test, der Normalität voraussetzt (z. B. t-Test), bedeutet dies nicht, dass Sie sollte . (dh der Vergleich der Mittelwerte zweier Exponentialverteilungen sagt Ihnen möglicherweise nicht, was Sie denken, oder zwei bimodale Verteilungen oder ein bimodales mit einer unimodalen Verteilung usw.)

Die Frage, die die meisten Menschen stellen sollten, lautet: "Ist der Mittelwert (oder ein Unterschied in den Mitteln) eine nützliche Metrik angesichts der Verteilung meiner Daten?" Nur wenn die Antwort auf diese Frage Ja lautet, sollte man die Mittelwerte vergleichen (und sich dabei auf die CLT verlassen).

Wenn Sie diese Frage nicht stellen, fallen viele Menschen in den folgenden (grob formulierten) logischen Irrtum:

Das CLT gilt, damit ich die Mittelwerte vergleichen kann. Und ich kann Mittelwerte vergleichen, weil sie normal verteilt sind. Dieser Vergleich muss aussagekräftig sein, da die CLT sagt, dass ich das kann (und die CLT ist sehr leistungsfähig). Der Vergleich / Test, den ich am intuitivsten (/ nur) verwende, ist sinnvoll, wenn die Daten normal verteilt sind, und schließlich ist der Mittelwert normal verteilt, sodass meine Daten auch normal verteilt sein müssen!

Um die Frage direkt zu beantworten, können Sie:

1. Zeigen Sie ihnen die Definition, weisen Sie darauf hin, dass die CLT nur einen Anspruch auf die Verteilung des sich der Normalität nähernden Mittelwerts erhebt, und betonen Sie, dass die Verteilung eines Parameters sich stark von der Verteilung der Daten unterscheiden kann, von denen er abgeleitet ist .

2. Zeigen Sie ihnen dieses Video, das eine schöne visuelle Darstellung der Funktionsweise des CLT unter Verwendung verschiedener Verteilungen für die zugrunde liegenden Daten bietet. (Es ist ein bisschen schrullig, aber sehr klar kommuniziert)

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Nachtrag:

Ich habe in meiner Erklärung einige technische Details beschönigt, um sie für jemanden verständlicher zu machen, der mit Statistiken weniger vertraut ist. Mehrere Kommentatoren haben darauf hingewiesen, und deshalb dachte ich, ich würde ihr Feedback hier einfügen:

• Eine genauere Aussage des CLT wäre:

" Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass der Mittelwert der Daten normal verteilt wird (genauer gesagt die Differenz zwischen dem Mittelwert der Daten / Stichprobe und dem wahren Mittelwert, multipliziert mit der Quadratwurzel der Stichprobengröße $ \ sqrt {n} $ span> ist normalverteilt)

Ich habe dies auch als " die richtig normalisierte Summe tendiert zu einer Normalverteilung "

Es ist auch darauf hinzuweisen, dass die Daten aus unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen mit endlicher Varianz bestehen müssen, damit die CLT angewendet werden kann.

• Eine genauere und / oder weniger bayesianische Art, " die Verteilung des Parameters (Mittelwert) " zu sagen, wäre " die Verteilung der Parameterschätzung durch den regulären Stichprobenmittelwert "

​​CLT geht es um die Konvergenz einer Summe von Zufallsvariablen. Wenn wir ein iid-Beispiel $ X_1, ..., X_n $ span> haben, wobei $ EX_i = \ mu $ span > und $ Var (X_i) < \ infty $ span> dann

$$ \ frac {1} {\ sqrt {n}} \ left (X_1 + ... + X_n-n \ mu \ right) \ bis N (0, Var (X_i)) $$ span>

Bei dieser Aussage geht es ausschließlich um die Nähe einer Verteilung einer entsprechend normalisierten Summe $ (X_1 + ... + X_n) $ span> zur Normalverteilung. Es heißt nicht, dass nichts über die Konvergenz der Verteilung von $ X_i $ span>. Da $ X_i $ span> nicht von $ n $ span> abhängt, warum sollten sie irgendwo konvergieren?

Die empirische Verteilung einer Stichprobe $ X_i $ span> konvergiert tatsächlich (mit zunehmender Stichprobengröße) zur tatsächlichen Verteilung von $ X_i $ span> gemäß Donsker-Theorem. Wenn also die tatsächliche Verteilung nicht nahe an der Normalen liegt, liegt die empirische Verteilung auch nicht nahe daran.

So visualisiere ich gerne die CLT.Ich bin mir jedoch nicht 100% sicher, ob das Argument richtig ist. Bitte überprüfen Sie.

Beginnen Sie mit einer Grundgesamtheit von Werten, deren Verteilung bei weitem nicht normal ist. Zum Beispiel eine gleichmäßige Verteilung:

  X <-runif (n = 50000)
hist (X)
 

Nehmen Sie nun $ n $ span> Stichproben aus dieser Grundgesamtheit, berechnen Sie den Mittelwert jeder Stichprobe, verschieben Sie den Stichprobenmittelwert um den Mittelwert der Grundgesamtheit und skalieren Sie ihn um $ \ sqrt {n} $ span>, zeichnen Sie ein Histogramm dieser $ n $ span> -Mittel. Das Histogramm ist (fast) normal:

  mu <- 1/2 # Mittelwert der Bevölkerung X.
x <-rep (NA, 1000)
Größe <- 10
für (i in 1: Länge (x)) {
    x [i] <-sqrt (Größe) * (Mittelwert (Stichprobe (X, Größe = Größe)) - mu)
}}
 

Der Punkt der Verwirrung hier ist, was tatsächlich zu einer Normalverteilung konvergiert.Ich denke, der einfachste Weg, dies zu überwinden, besteht darin, Beispiele für die Extreme einer Stichprobenverteilung zu erläutern, eine mit einer Messung pro Stichprobe (so als würden Messungen direkt aus der von Ihnen beschriebenen Population durchgeführt) und eine, bei der jede Stichprobe die gesamte Population darstellt.Von dort ist es einfacher zu verstehen, was in der Mitte passiert.