Frage:
Wie ist die Verteilung des Binomialverteilungsparameters $ p $ bei einer Stichprobe k und n?
Penz
2011-07-19 05:33:17 UTC
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Wenn ich in $ n $ bernoulli-Versuchen $ k $ Erfolge habe, folgt der Parameter $ p $ der Binomialverteilung einer bekannten Verteilung? Es gibt einige Methoden zur Berechnung von Konfidenzintervallen für $ p $, I ' Ich bin an der Verteilung für die genaue Methode interessiert.

Ich denke, Sie meinen den Stichprobenanteil $ \ hat {p} = k / n $.
Zwei antworten:
#1
+12
steffen
2011-07-19 16:16:32 UTC
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Aus bayesianischer Sicht ist die Verteilung von p mit k empirischen Erfolgen und n Versuchen die Beta-Verteilung, im Detail $ p \ sim Beta (\ alpha, \ beta) $ mit $ \ alpha = k + 1 $ und $ \ beta = n-k + 1 $. Es stellt die nicht normalisierte Dichte $ prob (p | data) $ dar, dh die nicht normalisierte Wahrscheinlichkeit, dass der unbekannte Parameter angesichts der Daten (Erfolge und Versuche), die Sie bisher gesehen haben, $ p $ ist.

Bearbeiten: Sei n willkürlich, aber fest. Dann kann die hintere Dichte über den Bayes-Satz $ prob (p | k) = \ frac {prob (k | p) * prob (p)} {prob (k)} \ propto prob (k | p) \ propto p abgeleitet werden ^ k (1-p) ^ {nk} $. Hier wird ein einheitlicher Prior $ prob (p) $ angenommen, die Normalisierungskonstante $ prob (k) $ wird übersprungen, da sie nicht von p abhängt. Daher "nicht normalisiert". Die Verteilung von $ prob (p | k) $ bei einem festen n (dh $ prob (p | k, n) $) ist die oben angegebene Betadistribution.

Zum Beispiel: Das r-Paket binom verwendet die Betadistribution zur Berechnung von Konfidenzintervallen. Siehe die Methoden biom.confint , d. H. Binom.bayes

Gute Antwort. Ich frage mich, was an der Beta-Distribution "nicht normalisiert" ist. Vielleicht denken Sie stattdessen an $ p ^ \ alpha (1-p) ^ \ beta dp $?
Das ist es! Gibt es eine Möglichkeit, es zu normalisieren?
@whuber Ich habe meine Antwort aktualisiert und an die "Ableitung" gedacht.
@Penz Im Allgemeinen besteht keine Notwendigkeit für eine manuelle Normalisierung, z. Zur Bestimmung von Konfidenzintervallen können Sie die bereits verfügbaren inversen cdf-Funktionen wie "qbeta" in R verwenden.
#2
+4
Rob Hyndman
2011-07-19 07:39:32 UTC
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Der Stichprobenanteil $ \ hat {p} = k / n $ hat eine skalierte Binomialverteilung. Das ist $ k \ sim \ text {Binomial} (n, p) $, das mit der Stichprobengröße $ n $ skaliert wird. Ich glaube nicht, dass es einen anderen Namen hat.

Mein Gehirn schmilzt, wenn ich darüber nachdenke.Wenn k = 3, n = 3, dann ist p = 1.Dies erscheint jedoch höchst unwahrscheinlich, da Pr (p | k, n) mit ziemlicher Sicherheit für alle p ungleich Null ist.Viele p können k und n erzeugt haben.
Wenn Sie die Dichte / Masse-Funktion des sogenannten skalierten Binomials aufschreiben, können so viele Innenseiten gewonnen werden


Diese Fragen und Antworten wurden automatisch aus der englischen Sprache übersetzt.Der ursprüngliche Inhalt ist auf stackexchange verfügbar. Wir danken ihm für die cc by-sa 3.0-Lizenz, unter der er vertrieben wird.
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