Bei der Vorhersage von Zeitreihen müssen Sie zunächst verstehen, dass Stationarität vor allem im Zusammenhang mit ARMA und verwandten Modellen wichtig ist (AR: Auto-Regressive, MA: Moving Average). Es gibt andere Arten von Zeitreihen-Prognosemodellen, bei denen Stationarität nicht erforderlich ist, z. B. Holt-Winters oder Facebook Prophet.

Hier sind zwei intuitive, wenn auch nicht ganz mathematisch strenge Erklärungen, warum mittlere AR-Stationarität im ARMA-Fall wichtig ist:

• Die AR-Komponente von ARMA-Modellen behandelt die Zeitreihenmodellierung als überwachtes Lernproblem. $ Y_t = a_1Y_ {t-1} + ... a_nY_ {tn} + c + \ sigma (t) $ span>. Eine gängige Faustregel beim überwachten Lernen lautet, dass die Verteilung der Trainingsdaten und die Verteilung der Testdaten gleich sein sollten, da Ihr Modell sonst bei Tests außerhalb der Stichprobe und bei Produktionsdaten schlecht abschneidet. Da für Zeitreihendaten Ihr Zugsatz die Vergangenheit und Ihr Testsatz die Zukunft ist, stellt die Stationaritätsanforderung lediglich sicher, dass die Verteilung über die Zeit gleich bleibt. Auf diese Weise vermeiden Sie die Probleme, die beim Training Ihres Modells mit Daten auftreten, die eine andere Verteilung als die Test- / Produktionsverteilung haben. Insbesondere die mittlere Stationarität besagt lediglich, dass der Mittelwert des Zugsatzes und der Mittelwert des Tests gleich bleiben sollten.

• Eine noch einfachere Überlegung: Nehmen Sie das grundlegendste ARMA-Modell, ein $ AR (1) $ span> -Modell: $$ Y_t = aY_ {t-1} + c + \ sigma $$ span> Die rekursive Beziehung für die Schätzung eines Schritts basierend auf dem vorherigen lautet also: $$ \ hat {Y} _t = a \ hat {Y} _ {t-1} + c $$ span>, $$ \ hat {Y} _t - c = a \ hat {Y} _ {t-1} $$ span> den erwarteten Wert angenommen: $$ E (\ hat {Y} _t) - c = aE (\ hat { Y} _ {t-1}) $$ span> bedeutet: $$ a = \ frac {E (\ hat {Y} _t) - c} {E ( \ hat {Y} _ {t-1})} $$ span> Wenn also $ a $ span> über die Zeit konstant bleiben soll, ist dies der Anfang Annahme eines $ AR (1) $ span> -Modells, da es einer linearen Regression ähneln soll, dann $ E ( \ hat {Y} _t) $ span> muss für alle $ t $ span> gleich bleiben, dh Ihre Serie hat gemein stationär sein.

Die obigen Überlegungen gelten auch für den allgemeinen ARMA-Fall mit $ AR (p) $ span> und $ MA (q) $ span> -Begriffe, obwohl die Mathematik etwas komplizierter ist als das, was ich beschreibe, aber intuitiv ist die Idee immer noch dieselbe. Das 'I' in ARIMA steht für "Integriert" und bezieht sich auf den Differenzierungsprozess, der es ermöglicht, eine allgemeinere Zeitreihe in eine stationäre Zeitreihe umzuwandeln, die mithilfe von ARMA-Prozessen modelliert werden kann.

Ich bin mit der @ Alexis-Charakterisierung nicht einverstanden, dass " dass Zeitreihen stationär sind, mehr oder weniger die Weltanschauung verkörpert, dass die Vergangenheit keine Rolle spielt " - wenn überhaupt, ist es umgekehrt: Eine Zeit transformierenBei einer in eine stationäre Reihe zu Modellierungszwecken geht es genau darum zu sehen, ob es in der Zeitreihe kausale / deterministische Strukturen gibt, die über Trend und Saisonalität hinausgehen.Das heißt,Beeinflusst die Vergangenheit die Gegenwart oder die Zukunft auf subtilere Weise als nur die großen Variationen?(Aber ich könnte einfach falsch interpretieren, was sie zu sagen versucht).

Stationarität ist wichtig, da es sich um eine mathematisch starke Annahme handelt, die immer noch viel schwächer ist als Unabhängigkeit oder Abhängigkeit von endlichen Bereichen.

In einigen Einstellungen ist dies vor allem für die mathematische Nachvollziehbarkeit wichtig: Es ist einfacher, zuerst herauszufinden, was für stationäre Zeitreihen gilt, und dann daran zu arbeiten, wie die Annahmen gelockert werden können. Vielleicht brauchen Sie nur eine Stationarität mit schwachem Sinn oder eine mittlere Stationarität plus eine gewisse Schwanzbedingung oder was auch immer. Oder vielleicht brauchen Sie Stationarität, damit ein Ergebnis genau stimmt, aber es gilt ungefähr unter schwächeren Annahmen.

In anderen Einstellungen ist Stationarität wichtig, da es so viele Möglichkeiten gibt, nicht stationär zu sein, dass es schwierig wäre, mit jeder einzelnen davon umzugehen. Wenn ein Problem durch eine stationäre Serie angenähert werden kann, ist dies ein großer praktischer Vorteil. Hierbei ist zu beachten, dass die stationäre Reihe $ X (t) $ span>, die in der Mathematik angezeigt wird, möglicherweise nicht Ihre Rohdaten sind. Beispielsweise sind herkömmliche ARMA-Modelle stationär, aber Sie möchten normalerweise Saison- und Trendbeziehungen entfernen, bevor Sie eines anpassen. Möglicherweise möchten Sie eine Reihe mit zunehmendem Mittelwert und zunehmender Varianz logarithmisch transformieren. Und so weiter.

Erstens sind Ihre mittleren Schätzungen und Ihre Standardfehler stark verzerrt, wenn Sie eines der Inferenzwerkzeuge verwenden, die i.i.d annehmen, was bedeutet, dass Ihre Ergebnisse möglicherweise falsch sind.Dies kann sogar der Fall sein, wenn Ihre Daten schwach stationär sind, Ihre Studienzeit jedoch kürzer ist als die Zeit, die Ihre Serie benötigt, um nach einer Störung das Gleichgewicht zu erreichen.

Zweitens verkörpert die Annahme, dass Zeitreihen stationär sind, mehr oder weniger die Weltanschauung, dass die Vergangenheit keine Rolle spielt (z. B. ist die heutige Prävalenz von COVID-19 völlig unabhängig von der gestrigen Prävalenz von COVID-19; Die Pro-Kopf-Ausgaben für Suchtmittel wie Zigaretten in diesem Jahr sind völlig unabhängig von den Pro-Kopf-Ausgaben, die letztes Jahr für sie ausgegeben wurden.)… irgendwie unrealistisch.

Stationär bedeutet, dass die Statistiken, die den Zufallsprozess beschreiben, konstant sind. "Ein memoryloser Markov-Prozess" ist eine andere Möglichkeit, stationär zu sagen, da die Wahrscheinlichkeitsgenerierungsfunktion keine "Feedback" -Begriffe enthält. Wenn Sie diese Wörter jedoch erkannt haben, stellen Sie diese Frage möglicherweise nicht. FWIW „schwach stationär“ ist nicht ganz dasselbe, eine konstante oder erkennbare Änderungsrate der Statistiken wäre schwach stationär, ebenso wie etwas, das sich im Durchschnitt ergibt, aber es ist etwas komplizierter. Betrachten Sie diese faire Warnung, dass es mehr zu wissen gibt Falls dies Teil des Puzzles ist, aber alles, was nicht stationär ist, im Detail zu beschreiben, würde eine einfache Antwort zu einer komplexen Antwort machen.

Warum ist stationär wichtig? Die üblicherweise verwendeten statistischen Formeln werden erstellt, um mithilfe eines Datensatzes eine ungenaue Beschreibung mit einer schätzbaren Genauigkeit eines ansonsten unbekannten Zufallsprozesses zu extrahieren. Die Formeln gehen davon aus, dass das Hinzufügen weiterer Stichproben die Genauigkeit der Beschreibung erhöht, indem die Unsicherheit verringert wird. Dafür muss die mittlere zentrale Tendenz, d. H. Ergodisch im Mittelwert, wahr sein. Wenn sich der Zufallsprozess selbst ändert, z. Wenn sich der Durchschnittswert oder die Varianz ändert, ist eine wesentliche zugrunde liegende Annahme ungültig. Sie können keine bessere Schätzung vornehmen.

Als allgemeines „Was passiert“, wenn sich der Mittelwert als lineare Funktion der Zeit bewegt, repräsentiert der berechnete Mittelwert den Mittelwert zu einer gewichteten mittleren Zeit und die berechnete Varianz wird aufgeblasen. Es ist möglich, eine "optimale a posteriori" (nachträgliche) Schätzung eines nicht stationären Prozesses zu berechnen und diese dann zu verwenden, um aussagekräftige Statistiken zu extrahieren, da die beste Schätzung der Zeitfunktion die Varianz minimiert. Es ist auch einfach, eine Zeitfunktion hoher Ordnung zu hypothetisieren und ein komplexes Modell zu erstellen, das gültig und vorhersagbar erscheint und tatsächlich keine Vorhersagekraft besitzt, da es eine Momentaufnahme der Zufälligkeit und keinen zugrunde liegenden Zeittrend modelliert.

Kurz und bündig:

Die Parameter müssen konstant sein. Wenn die Reihe nicht stationär ist, sind die von Ihnen geschätzten Parameter selbst Funktionen der Zeit. Das Modell geht jedoch davon aus, dass es sich um Konstanten handelt. Daher schätzen Sie den durchschnittlichen Parameterwert über den Zeitraum. Siehe Skanders Antwort, warum, ich werde nicht in die Mathematik eintauchen, da er es bereits getan hat.

Dies führt zu mindestens zwei Problemen:

1. Ihre Schätzungen für den wahren Parameterwert sind wahrscheinlich falsch, da der Parameterwert zu jedem Zeitpunkt wahrscheinlich von seinem Durchschnittswert abweicht. Daher ist jede Schlussfolgerung, die Sie aus den Daten ziehen, wahrscheinlich falsch. Dies führt zu falschen Regressionen / Korrelationen.
2. Sie können das Modell nicht verwenden, um die Zukunft vorherzusagen. Da Ihr Parameter jetzt eine Funktion der Zeit ist und Sie nicht wissen, wie er sich im Laufe der Zeit entwickelt, ist jede Prognose, die Sie machen, vollständig (entschuldigen Sie mein französisches) Horseshit.
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Die Stationarität zu erreichen ist eigentlich ziemlich einfach. Wir müssen nur unterscheiden, bis wir eine stationäre Serie haben. Also mach das einfach.