Frage:
Für die angegebene Wahrscheinlichkeit eines Lottogewinns sind Mindestkarten erforderlich
Queops
2011-02-07 06:15:05 UTC
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Bei einer Lotterie geben 1/10 der 50 000 000 Tickets einen Preis.

Wie viele Tickets sollte man mindestens kaufen, um eine Gewinnchance von mindestens 50% zu haben?

Würde mich sehr freuen, wenn Sie Ihre Methodik bei der Lösung dieses Problems erläutern könnten. Bitte betrachten Sie dies als Hausaufgabe, wenn Sie so wollen.

Einer antworten:
#1
+15
cardinal
2011-02-07 07:43:03 UTC
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Ich sollte wirklich fragen, was Sie bisher darüber denken. Dieses Problem hängt sehr eng mit dem "Geburtstagsproblem" zusammen. Der einfachste Weg, diese Probleme zu lösen, besteht darin, die möglichen Gewinn- oder Verlustmöglichkeiten zu zählen. Normalerweise ist eines viel einfacher als das andere, daher ist es wichtig, das richtige zu finden. Bevor wir mit der eigentlichen Berechnung beginnen, beginnen wir mit einigen Heuristiken.


Heuristiken : Sei $ n $ die Gesamtzahl der Tickets und $ m $ die Anzahl Tickets zu gewinnen. In diesem Fall ist $ n = 50 \, 000 \, 000 $ und $ m = 5 \, 000 \, 000 $. Wenn $ n $ sehr groß ist, entspricht der Kauf mehrerer unterscheidbarer Tickets fast der Auswahl von mit Ersatz aus der Ticketpopulation.

Nehmen wir an, dass Sie nicht $ kaufen müssen k $ separate Tickets, wir kauften ein Ticket, schauten nach, ob es ein Gewinner war, und gaben es dann an die Lotterie zurück. Wir wiederholen dann diesen Vorgang, wobei jede solche Ziehung von allen vorherigen unabhängig ist. Dann ist die Gewinnwahrscheinlichkeit nach dem Kauf von $ k $ Tickets nur $$ \ Pr (\ text {wir haben gewonnen} \ mid \ text {gekaufte $ k $ Tickets}) = 1 - \ left (\ frac {nm} {n} \ right) ^ k. $$

In unserem Fall ist die rechte Seite $ 1 - (9/10) ^ k $, und so setzen wir dies auf $ 1/2 $ und lösen nach $ k $, um die Anzahl der Tickets zu erhalten.

Aber wir probieren tatsächlich ersatzlos. Im Folgenden werden wir die Entwicklung durchgehen, wobei der Punkt darin besteht, dass die oben genannten Heuristiken für das vorliegende Problem und viele ähnliche Probleme mehr als gut genug sind.


Es gibt $ 50 \, 000 \, 000 $ Tickets. Von diesen $ 5 \, 000 \, 000 $ gewinnen diejenigen und $ 45 \, 000 \, 000 $ verlieren diejenigen. Wir suchen

$$ \ Pr (\ text {we win}) \ geq 1/2 \ >, $$

oder gleichwertig

$ $ \ Pr (\ text {wir verlieren}) \ leq 1/2. $$

Die Wahrscheinlichkeit, dass wir verlieren, ist einfach die Wahrscheinlichkeit, dass wir keine der Gewinnkarten besitzen. Sei $ k $ die Anzahl der Tickets, die wir kaufen. Wenn $ k = 1 $, dann ist $ \ Pr (\ text {wir verlieren}) = 45 \, 000 \, 000/50 \, 000 \, 000 = 9/10 \ geq 1/2 $, so dass gewonnen ' nicht tun. Wenn wir zwei Tickets auswählen, gibt es $ 45 \, 000 \, 000 \ cdot 44 \, 999 \, 999 $ Möglichkeiten, zwei verlorene Tickets auszuwählen, und es gibt $ 50 \, 000 \, 000 \ cdot 49 \, 999 \, 999 $ Möglichkeiten, beliebige zwei Tickets auszuwählen. Also,

$$ \ Pr (\ text {wir verlieren}) = \ frac {45 \, 000 \, 000 \ cdot 44 \, 999 \, 999} {50 \, 000 \, 000 \ cdot 49 \, 999 \, 999} \ ca. 0,9 ^ 2 = 0,81. $$

Verallgemeinern wir jetzt. Sei $ m $ die Anzahl der Gewinnkarten und $ n $ die Gesamtzahl der Karten wie zuvor. Wenn wir dann $ k $ Tickets kaufen,

$$ \ Pr (\ text {wir verlieren}) = \ frac {(nm) (nm-1) \ cdots (nm-k + 1) } {n (n-1) \ cdots (n-k + 1)}. $$

Es wäre mühsam, aber wir können jetzt einfach anfangen, Werte für $ k $ einzugeben, bis wir die erhalten Wahrscheinlichkeit unter $ 1/2 $. Wir können jedoch einen "Trick" verwenden, um der Antwort nahe zu kommen, insbesondere wenn $ n $ sehr groß und $ m $ in Bezug auf $ n $ relativ klein ist.

Beachten Sie, dass $ \ frac {nmk} {nk} \ leq \ frac {nm} {n} $ für alle $ k < m < n $. Daher

$$ \ Pr (\ text {wir verlieren}) = \ frac {(nm) (nm-1) \ cdots (nm-k + 1)} {n (n-1) \ cdots (n-k + 1)} \ leq \ left (1 - \ frac {m} {n} \ right) ^ k, $$

und daher müssen wir die Gleichung $ \ left lösen (1 - \ frac {m} {n} \ right) ^ k = \ frac {1} {2} $ für $ k $. Aber

$$ k = \ frac {\ log \ frac {1} {2}} {\ log (1 - \ frac {m} {n})} \ >, $$

und wenn $ m / n = 1/10 $, erhalten wir $ k \ ca. 6,58 $.

Also sollten $ k = 7 $ Tickets sein den Trick machen. Wenn Sie es in die obige Gleichung einstecken, erhalten Sie

$$ \ Pr (\ text {wir gewinnen} \ mid \ text {k = 7}) \ ca. 52,2 \% $ $

Sehr detailiert. Ich liebte es. Vielen Dank und ich werde es als Antwort betrachten, es sei denn, jemand kommt mit etwas anderem.


Diese Fragen und Antworten wurden automatisch aus der englischen Sprache übersetzt.Der ursprüngliche Inhalt ist auf stackexchange verfügbar. Wir danken ihm für die cc by-sa 2.0-Lizenz, unter der er vertrieben wird.
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