Ich glaube nicht, dass Var $ (Z) \ le $ Var $ (X) $. Stellen Sie sich vor, dass $ X $ eine Zeitreihe ist, die sich um Werte nahe 100 schlängelt, fast immer zwischen 98 und 102. Stellen Sie sich nun vor, dass $ Z $ sich zwischen 0 und 100 schlängelt, aber immer kleiner als $ X $ ist. Die Varianz von $ Z $ wird in einem solchen Fall eindeutig größer sein als die Varianz von $ X $. Dies ist ein Beispiel, in dem $ X $ und $ Z $ um einige Konstanten stationär sind, aber es könnte leicht auf ein stationäres Trendbeispiel erweitert werden ... Ich bin nicht sicher, ob es sich auf integrierte Zeitreihen erstrecken würde ... muss nachdenken darauf.

Für den allgemeinen Fall lautet die Antwort nein. Für die spezifischen Fälle ist es auch nein.

Ein einfaches Zählerbeispiel ist $ y \ sim U (0,1) $ und $ x \ sim Gamma (a, a) $, so dass wir habe $ E (x) = 1 $ und $ var (x) = a ^ {- 1} $. Nehmen Sie $ x $ und $ y $ als unabhängig, und wir haben:

$$ var (z) = E [var (z | y)] + var [E (z | y)] = E. [y ^ 2a ^ {- 1}] + var [y] = var (y) + E (y ^ 2) a ^ {- 1} = \ frac {1} {12} + \ frac {1} {3 } var (x) = var (x) \ frac {a + 4} {12} $$

Nun wählen wir einfach einen beliebigen Wert für $ a $, so dass $ a> 8 $ und wir $ haben var (z) > var (x) $

Ganz klar nicht.

Ein einfaches Gegenbeispiel (hier in R), das meiner Meinung nach alle Ihre Einschränkungen erfüllt:

  set.seed (239843) x = rnorm (100, 100, 1) y = rep (c (0,01, 0,99), times = 50) z = x · y var (x) [1] 0,8413043var (y) [1] 0,2425253 var (z) [1] 2425,296  

Was ist los:

1. x ist eine Reihe mit Mittelwert 100 und SD 1.

2. y wechselt zwischen 0,01 und 0,99.

3. z = xy wechselt daher zwischen (ungefähr) 1 und 99, ist aber immer $ <x $

ol>

Alternative [allgemeinere] Frage) Unter der Annahme endlicher Varianzen ist es wahr, dass wir für jede Zufallsvariable a und b, so dass 0 ≤ a ≤ b ist, var (a) ≤ var (b)?

Noch deutlicher nicht; Ohne die Notwendigkeit einer "y" -ähnlichen Variablen ist es ziemlich offensichtlich:

Betrachten Sie einen Satz von Werten, der zwischen 1 und 99 wechselt, und einen zweiten, der zwischen 100 und 101 wechselt.

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Hinzufügen der neuen Bedingung, dass X und Y eine positive Kovarianz haben:

  set.seed (239843) oldx = rnorm (100,100,1) y = rep (c (0,01, 0,99), times = 50) x = oldx + y # oldX und Y sind unabhängig, so dass X und Y jetzt + ve Kovarianz haben z = x * y cov (x, y) [1] 0,2739745 # Probenkovarianz ist zufällig positiv in diesem Fall auch var (x); var (y); var (z) [1] 1.065326 [1] 0.2425253 [1] 2481.243  

Wenn Sie die Antworten für diesen Fall ausarbeiten Algebraisch (Berechnen Sie die Populationsvarianzen und die relevante Populationskovarianz) werden Sie sehen, dass dies nicht nur ein numerischer Unfall aus einer glücklichen Auswahl von Samen ist.

Lassen Sie uns klarstellen, dass die diskutierte "Varianz" eine Zufallsvariable zu sein scheint, die aus einem endlichen Teil einer Zeitreihe abgeleitet ist. Insbesondere ist der rohe $ k ^ \ text {th} $ Moment von $ \ mathrm {X} = (X_1, X_2, \ ldots, X_N) $

$$ \ mu_k (\ mathrm {X. }) = (X_1 ^ k + X_2 ^ k + \ cdots + X_N ^ k) / N, $$

ist eine Zufallsvariable und die Varianz ist

$$ \ text {var} (\ mathrm {X}) = \ mu_2 (\ mathrm {X}) - \ mu_1 ^ 2 (\ mathrm {X}), $$

Dies ist auch eine Zufallsvariable.

In ähnlicher Weise können wir Momente $ \ mu_ {jk} $ der bivariaten Reihe $ (X_i, Y_i) $ definieren und daraus eine Kovarianz berechnen. Alle diese Definitionen sind auch dann sinnvoll, wenn eine der Reihen konstant ist (obwohl sich dann die Momente und die Varianz eher auf Zahlen als auf Zufallsvariablen reduzieren können).

Um zu zeigen, dass Gegenbeispiele auch dann existieren, wenn $ X $ und $ Y $ haben eine positive Kovarianz, lassen Sie $ Y_i $ durch $ 0 $ und $ 1 $ begrenzt sein, lassen Sie $ \ mathrm {Y} $ eine Varianz ungleich Null haben, wählen Sie $ 0 \ lt \ varepsilon \ lt 1 $ und definieren Sie

$$ X_i = 1 + \ varepsilon Y_i \ ge 0. $$

Konstruktionsbedingt besteht eine perfekte (Einheits-) Korrelation zwischen jedem $ X_i $ und $ Y_i $ sowie zwischen $ \ mu_k (\ mathrm {X}) $ und $ \ mu_k (\ mathrm {Y}) $ für jedes $ k \ gt 0 $; sicherlich sind die Kovarianzen positiv.

Da jedoch $ Z_i = X_iY_i = Y_i + \ varepsilon Y_i ^ 2 $,

$$ \ text {Var} (\ mathrm {Z} ) = \ text {Var} (\ mathrm {Y}) + 2 \ varepsilon \ mu_1 (\ mathrm {Y} ^ 3) + \ varepsilon ^ 2 \ mu_1 (\ mathrm {Y} ^ 4) \ gt \ text { Var} (\ mathrm {Y}) \ gt \ varepsilon ^ 2 \ text {Var} (\ mathrm {Y}) = \ text {Var} (\ mathrm {X}), $$

die Vermutung in der Frage widerlegen.

Dieselbe Analyse (verbunden mit der Tatsache, dass $ \ mu_1 (\ mathrm {Y} ^ 4) \ lt \ mu_1 (\ mathrm {Y} ^ 2) $) zeigt, dass für ausreichend große $ \ varepsilon \ gt 1 $ die Ungleichung umgekehrt werden muss. Somit gibt es keine notwendige Ungleichung in Bezug auf $ \ text {Var} (\ mathrm {X}) $ und $ \ text {Var} (\ mathrm {Z}) $.

Angenommen, die Prozesse $ \ {X \} $ und $ \ {Y \} $ sind ergodisch / stationär mit endlichen Momenten und unabhängig. Dann ist $ \ {XY \} $ auch ergodisch und

$$ \ operatorname {Var (XY)} = E (X ^ 2Y ^ 2) - [E (XY)] ^ 2 = E ( X ^ 2) E (Y ^ 2) - [E (X)] ^ 2 [E (Y)] ^ 2 $$

das Aufbrechen der erwarteten Werte aufgrund der Unabhängigkeit.

Sie fragen

$$ E (X ^ 2) E (Y ^ 2) - [E (X)] ^ 2 [E (Y)] ^ 2 \ leq E (X ^ 2) - [E (X)] ^ 2 \; \; ?? $$

$$ \ Rightarrow [E (X)] ^ 2 \ cdot [1- [E ( Y)] ^ 2] \ leq E (X ^ 2) \ cdot [1-E (Y ^ 2)] \; \; ?? \ qquad [1] $$

Seit $ 0 \ leq Y \ leq 1 $ haben wir

$$ 0 \ leq E (Y) \ leq 1 \ Rightarrow 0 \ leq [E. (Y)] ^ 2 \ leq1, \; \; 0 \ leq E (Y ^ 2) \ leq1 $$

und auch

$$ E (Y ^ 2) > [E (Y)] ^ 2 \ Rightarrow [1 - [E (Y)] ^ 2] > [1-E (Y ^ 2)] \ qquad [2] $$

Untersuchen der gewünschten Ungleichung $ [1] $ und der wahren Ungleichung $ [ 2] $ man sieht, dass $ [1] $ halten kann oder nicht, da $ [E (X)] ^ 2 < E (X ^ 2) $.

Ich würde sagen, dass dies eine Anweisung ist Beispiel dafür, wie sich die Dinge ändern, wenn wir von einer deterministischen zu einer stochastischen Annahme übergehen - denn wenn die $ y_i $ als deterministische Sequenz bezeichnet werden, ist die Varianz von $ X_iy_i $ natürlich nicht größer als die Varianz von $ X_i $ .