Frage:
Wahrscheinlichkeit, keine roten Kugeln aus 20 Zügen ohne Ersatz zu ziehen, wenn eine endliche Stichprobe vorliegt
Mark Nice
2011-07-25 11:01:55 UTC
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Ich verstehe dies als Binomialverteilung: In einem Eimer befinden sich 100 Bälle. 10 sind rot, 90 sind blau. Ich wähle zufällig einen Ball aus und setze ihn dann wieder in den Eimer. Das mache ich 20 Mal. Ich berechne dann die Wahrscheinlichkeit, dass keiner der ausgewählten Bälle rot war.

Aber was ist, wenn ich den Ball nicht zurück in den Eimer lege? Die Wahrscheinlichkeit ändert sich dann mit jedem Versuch. Kann mich jemand in die richtige Richtung weisen, wie die Wahrscheinlichkeit in diesem Fall berechnet werden soll?

Zwei antworten:
#1
+9
Dmitrij Celov
2011-07-25 11:58:38 UTC
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Sei $ B $ für blaue Kugeln, $ R $ für rote Kugeln, dann können Sie die Formel für hypergeometrische Verteilung anwenden:

$$ P (B = 20, R = 0) = \ frac {\ binom {10} {0} \ binom {90} {20}} {\ binom {100} {20}} = \ frac {\ binom {90} {20}} {\ binom {100} {20}} $$

Der letzte Begriff entspricht genau der Antwort des @ Makros, aber die hypergeometrische Formel ist allgemeiner. Die Idee jenseits der Formel ist einfach: Ermitteln Sie die Anzahl der Möglichkeiten zum Zeichnen von 20 $ B $ von 90 $, die Anzahl der Möglichkeiten zum Zeichnen von 0 $ R $ von 10 $ (es gibt nur eine Möglichkeit) und dividieren Sie das Produkt durch die Anzahl oder Möglichkeiten, um $ 20 $ Bälle aus $ 100 $ zu ziehen. Hoffe das war nicht deine Hausaufgabe;)

perfekt! keine Hausaufgaben ;-) Ich habe mir gerade die Ballfrage ausgedacht, um die Ablenkungen von dem Problem zu beseitigen, an dem ich gerade arbeite
#2
+6
Macro
2011-07-25 11:50:41 UTC
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Nun, beim ersten Versuch haben Sie eine Wahrscheinlichkeit von $ 90/100 $, keinen roten Ball zu ziehen. Wenn der erste kein roter Ball war, sind beim zweiten Versuch noch 10 rote Bälle übrig, aber nur noch 99 zur Auswahl. Sie haben also eine Chance von 89 $ / 99 $, keinen roten Ball zu ziehen. In ähnlicher Weise haben Sie bei der dritten Ziehung, wenn die zweite Ziehung ebenfalls kein roter Ball war, eine Chance von 88/98 $, einen roten Ball zu wählen, und so weiter. Wenn Sie $ k $ mal unabhängig und ersatzlos versuchen, ist die Wahrscheinlichkeit, die Sie suchen, im Allgemeinen

$$ \ prod_ {i = 1} ^ {k} \ frac {90-i + 1} {100 -i + 1} $$

Eine wichtige Sache ist, dass diese Wahrscheinlichkeit tatsächlich nicht aus einer Binomialverteilung resultiert. Sie führen keine unabhängigen Versuche mit gleicher Wahrscheinlichkeit durch und zählen die Anzahl der "Erfolge". Die Versuche sind nicht unabhängig, da die Erfolgswahrscheinlichkeit eines zukünftigen Versuchs davon abhängt, ob ein früherer Versuch ein Erfolg war, was ihn grundlegend von der Binomialverteilung unterscheidet. Wenn durch ersetzt wurde, können Sie zu Recht sagen, dass die Anzahl der Erfolge einer Binomialverteilung folgt.

ahh, der grundlegende Unterschied war mir entgangen, danke!


Diese Fragen und Antworten wurden automatisch aus der englischen Sprache übersetzt.Der ursprüngliche Inhalt ist auf stackexchange verfügbar. Wir danken ihm für die cc by-sa 3.0-Lizenz, unter der er vertrieben wird.
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