$$ T = 7/3 + (8 + T) / 3 + (12 + T) / 3 = 9 + 2T / 3 $$ span> $$ T / 3 = 9 $$ span> $$ T = 27 $$ span> Vom Startpunkt aus ist jeder von 3 Pfaden gleichermaßen möglich.Zwei Pfade führen Sie zurück zum Startpunkt.

Um diese Frage zu beantworten, müssen Sie alle möglichen Pfade summieren, die die Ameise nehmen kann, und die Dauer dieses Pfades multiplizieren mit der Wahrscheinlichkeit, diesen Pfad zu nehmen. Das ist, $$ E [T] = \ sum _ {\ text {path} \ in \ text {mögliche Pfade}} p (\ text {path}) T (\ text {path}) $$ span>

Jeder mögliche Pfad nimmt Passage $ A $ span> nur einmal, kann aber Passagen $ B $ span> und annehmen $ C $ span> beliebig oft, in beliebiger Permutation. Mögliche Pfade können also $ A $ span>, $ BA $ span>, $ BBCCA $ span>, $ BCCBA $ span> usw.

Angenommen, die Wahrscheinlichkeiten für die Auswahl von Passagen $ A, $ span> $ B, $ span> und $ C, $ span> sind $ p_a $ span>, $ p_b $ span> und $ p_c $ span>. Dann ist zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, den Pfad $ CBBCCA $ span> zu nehmen, $ p_a p_b ^ 2 p_c ^ 3. $ span> Und weil es $ {5 \ select 2} = 10 $ span> Möglichkeiten gibt, $ B $ span zu nehmen > zweimal und $ C $ span> dreimal, wobei der Beitrag der erwarteten Pfadzeit durch die Möglichkeit von 3 $ C $ s und 2 $ B $ span> s ist $ 10 p_a p_b ^ 2 p_c ^ 3 (T_a + 2 T_b + 3) T_c) $ span>, wobei $ T_a $ span>, $ T_b $ span> und $ T_c $ span> sind die Pfadzeiten jeder Passage.

Das Obige gibt den Beitrag zur erwarteten Zeit für die Einnahme von zwei $ B $ span> s und drei $ C $ span> s vor $ A $ span>. Im Allgemeinen müssen Sie jedoch den erwarteten Zeitbeitrag aller möglichen Kombinationen von Pfaden $ B $ span> und $ C $ summieren span> vor $ A $ span> Ich mache das unten, aber ich schlage vor, Sie hören hier auf und versuchen es zuerst selbst.

SPOILER

Im Allgemeinen kann die Ameise eine beliebige $ A $ span> -Passage beliebig oft zwischen null und unendlich nehmen, bevor sie die Passage $ A $ span>, und für diese Anzahl von Malen kann es sich um eine beliebige Kombination von Passagen $ B $ span> und $ C $ span>. Um die erwartete Pfadzeit zu erhalten, fassen wir den Beitrag aller Durchgangsmöglichkeiten multipliziert mit ihrer Zeit zusammen, die wie folgt aussieht:

$$ E [T] = T_a + p_a \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ sum_ {i = 0} ^ n {n \ wähle i} p_b ^ i p_c ^ {ni} [i T_b + (ni) T_c] . $$ span>

Diese Beträge können ausgewertet werden. Mit dem Binomialsatz und der Ableitung können Sie Folgendes zeigen: $$ \ sum_ {i = 0} ^ n i {n \ wähle i} x ^ i y ^ {n-i} = n x (x + y) ^ {n-1} $$ span> und

$$ \ sum_ {i = 0} ^ n (n-i) {n \ wähle i} x ^ i y ^ {n-i} = n y (x + y) ^ {n-1}. $$ span>

Mit diesen Identitäten erhalten wir

$$ E [T] = T_a + p_a (p_b T_b + p_c T_c) \ sum_ {n = 0} ^ \ infty n (p_b + p_c) ^ {n-1}. $$ span>

Wenn Sie die Ableitung der Summe der berühmten geometrischen Reihen nehmen, können Sie zeigen, dass für $ | x | < 1 $ span>,

$$ \ sum_ {n = 0} ^ \ infty n x ^ {n-1} = \ frac {1} {(1 - x) ^ 2}. $$ span>

Wenn wir feststellen, dass $ 1 - (p_b + p_c) = p_a $ span>, erhalten wir

$$ E [T] = T_a + \ frac {1} {p_a} (T_b p_b + T_c p_c). $$ span>

Wenn wir $ p_a = p_b = p_c = 1/3 $ span> und Ihre Werte für die Zeit nehmen, erhalten wir $ E [T] = T_a + T_b + T_c $ span>, was 27 Minuten entspricht.

Hallo Donkordr und willkommen im Lebenslauf.
Nein, der Mittelwert beantwortet die Frage leider nicht.

Sie können Ihr Problem als Markov-Kette mit zwei Zuständen lesen: Wald und Ameisenhaus.
Ihre Übergangswahrscheinlichkeiten sind nun:

• Aus dem Wald: (spielt keine Rolle, da es das Ziel ist) $ p = 1 $ span>, um im Wald zu bleiben
• Aus dem Ameisenhaus: $ p_1 = \ frac {2} {3} $ span>, um im Ameisenhaus zu bleiben und $ p_2 = \ frac {1} {3} $ span>, um in den Wald zu gehen

Wir möchten wissen, wie viele Bewegungen durchschnittlich erforderlich sind, um den Wald zu erreichen - und Sie können dies tun, wie hier

erläutert Dies ergibt durchschnittlich 3 Bewegungen.
Von diesen drei Sätzen wird einer und nur einer in den Wald führen, während der Rest einer der anderen sein wird. Die durchschnittliche Zeit einer Bewegung, die nicht in den Wald geht, beträgt $ (8 + 12) / 2 = 10 $ span> Minuten.

Daher beträgt die durchschnittliche Zeit bis zum Erreichen des Waldes 27 $ span> Minuten: $ 7 $ span> aus dem letzten Schritt und $ 2 \ cdot10 $ span> aus den vorherigen.

PS - Es gibt andere Möglichkeiten, diese Berechnung mit Zwischenzuständen durchzuführen, die möglicherweise sauberer sind, aber dies schien einfach zu sein.

Lassen Sie mich eine Erklärung hinzufügen, die mir zumindest noch einfacher erscheint:

Beachten Sie zunächst, dass die Pfade $ B $ span> und $ C $ span> zu einem einzigen zusammengefügt werden können Pfad $ X $ span>, wobei die Durchlaufzeit den mittleren Zeiten von $ B $ span> und $ C $ span>, dh $ 10 $ span> Minuten. Dies liegt daran, dass diese Pfade die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Wenn nicht, müssten wir einen gewichteten Durchschnitt nehmen. Die Wahrscheinlichkeit, den Pfad $ X $ span> zu nehmen, ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten, den Pfad $ B $ span> zu nehmen oder $ C $ span>: $ P (X) = P (B) + P (C) = 2/3 $ .

Nun gibt es folgende Möglichkeiten, in den Wald zu gelangen:

$$ \ begin {array} {lrr} i & \ text {path} _i & P (i) & T (i) \\ \ hline 0 & A & 1/3 & 7 \\ 1 & XA & 2/3 \ cdot 1/3 & 10 + 7 \\ 2 & XXA & (2/3) ^ 2 \ cdot 1/3 & 20 + 7 \\ 3 & XXXA & (2/3) ^ 3 \ cdot 1/3 & 30 + 7 \\ & ... & \\ i & (i \ cdot X) Ein & (2/3) ^ i \ cdot 1/3 & 10 \ cdot i + 7 \ end {array} $$ span>

und die erwartete Zeit ist:

$$ \ begin {array} {lcl} E (T) & = & \ sum_ {i = 0} ^ \ infty P (i) T (i) \\ & = & 1/3 \ cdot \ sum_ {i = 0} ^ \ infty \ left (10 \ cdot i + 7 \ right) \ cdot (2/3) ^ i \\ & = & 10/3 \ cdot \ sum_ {i = 0} ^ \ infty i \ cdot (2/3) ^ i + 7/3 \ cdot \ sum_ {i = 0} ^ \ infty (2/3) ^ i \\ & = & 10/3 \ cdot 6 + 7/3 \ cdot 3 \\ & = & 27 \\ \ end {array} $$ span>

Typische Lösung:

Die Ameise nimmt entweder Pfad a und beendet oder nimmt Pfad b oder c und befindet sich wieder in ihrer Ausgangsposition.

Sei $ k $ span> die Häufigkeit, mit der die Ameise bereits Pfad b oder c genommen hat. Sei $ T_k $ span> der Erwartungswert für die Zeit bis zum Abschluss einer Ameise, die bereits $ k $ span> benötigt hat mal den weg. Dann kann der Erwartungswert für eine Ameise mit $ k $ span> -Schritten als Ameise mit $ k + 1 $ ausgedrückt werden span> Schritte.

$$ T_k = \ underbrace {\ frac {1} {3} 7} _ {\ substack {\ frac {1} {3} th \ text {Chance zum Abschluss mit Pfad} \\ \ text {a in 7 Minuten}}} + \ underbrace {\ frac {1} {3} (T_ {k + 1} + 8)} _ {\ substack {\ frac {1} {3 } th \ text {Chance, mit Pfad b fertig zu werden} \\ \ text {in 8 Minuten} \\ \ text {plus was Ameise $ k + 1 $ durchschnittlich benötigt}}} + \ underbrace {\ frac {1} { 3} (T_ {k + 1} +12)} _ {\ substack {\ frac {1} {3} th \ text {Chance, mit Pfad c} \\ \ text {in 12 Minuten} \\ \ text fertig zu werden {plus was Ameise $ k + 1 $ durchschnittlich braucht}}} $$ span>

Da sich die Ameisen unabhängig von der Historie in derselben Startposition befinden (Anzahl der Schritte $ k $ span>), beträgt die durchschnittliche Zeit (Sie haben $ T_k = T_ {k + 1} $ span>, mit dem Sie die obige Gleichung lösen können):

$$ T_k = \ frac {1} {3} 7+ \ frac {1} {3} (8 + T_k) + \ frac {1} {3} ( 12 + T_k) $$ span>

und nach einigen Umlagerungen

$$ T_k = 7 + 8 + 12 = 27 $$ span>

Verwenden eines Durchschnitts

Sie können dies mit einem Mittelwert lösen.

• Die Ameise endet mindestens mit Pfad a, der mindestens 7 Minuten dauert.
• Außerdem hat die Ameise eine Wahrscheinlichkeit von 2/3, Pfade b oder c (jedes Mal) zu nehmen, die durchschnittlich $ \ frac {8 + 12} {1 + 1} annehmen. = 10 $ span> Minuten.

Die mittlere Zeit, in der die Ameise die Pfade b oder c nimmt, ist:

$$ 1 \ cdot \ frac {1} {3} \ left (\ frac {2} {3} \ right) + 2 \ cdot \ frac {1} {3 } \ left (\ frac {2} {3} \ right) ^ 2 + 3 \ cdot \ frac {1} {3} \ left (\ frac {2} {3} \ right) ^ 3 + 4 \ cdot \ frac {1} {3} \ left (\ frac {2} {3} \ right) ^ 4 + .... = \ sum_ {k = 1} ^ \ infty k \ cdot \ frac {1} {3} \ left (\ frac {2} {3} \ right) ^ k = 2 $$ span>

Beachten Sie, dass dies mit einer geometrischen Verteilung zusammenhängt und die durchschnittliche Anzahl zusätzlicher Schritte, die die Ameise benötigt, 2 beträgt (und jeder Schritt durchschnittlich 10 Minuten dauert). Die Ameise braucht also (im Durchschnitt):

$$ \ text {$ 7 $ Minuten $ + $ 2 mal $ \ mal $ 10 $ Minuten $ = 27 $ Minuten} $$ span>

Interessanterweise: Sie können auch sagen, dass die mittlere Zeit für einen einzelnen Schritt $ 9 $ span> Minuten (was Sie berechnet haben) und der Mittelwert ist Die Anzahl der Schritte beträgt $ 3 $ span>, daher benötigt die Ameise $ 3 \ times 9 = 27 $ span> Minuten (Sie waren es) nicht sehr weit von der Lösung entfernt).

Kommentieren des Beitrags von @Igor F. (nicht genug Ruf in diesem Unterforum, um einfach zu kommentieren):

Beide Begriffe sind geometrische Reihen:

$ \ sum_ {i = 0} ^ \ infty i \ cdot (\ frac {2} {3}) ^ i \ overset {q = 2/3} {=} \ sum_ {i = 0} ^ \ infty i \ cdot q ^ i = q \ frac {d} {dq} \ sum_ {i = 0} ^ \ infty q ^ i = \ frac {q} {(1-q) ^ 2}, \ text {for} | q | <1 $ span>, also für $ q = \ frac {2} {3} $ span> thisentspricht $ 6 $ span>.

$ \ sum_ {i = 0} ^ \ infty (\ frac {2} {3}) ^ i $ span> ist nur eine grundlegende unendliche geometrische Reihe, und wirhabe $ \ sum_ {i = 0} ^ \ infty c \ cdot q ^ i = \ frac {c} {1-q}, \ text {mit Konstante} c \ text {und} | q | <1 $ span>, das ist $ 3 $ span> für $ q = \ frac {2} {3} $ span> und $ c = 1 $ span>.

Es dauert immer $ 7 $ span> min, um erfolgreich zu sein, was einmal vorkommt. Es dauert durchschnittlich $ 10 $ span> min, um fehlzuschlagen. Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlschlags beträgt $ 2/3 $ span> bei jedem Versuch oder $ (2/3) ^ n $ span> für n Versuche. Die Gesamtzeit beträgt also ( $ 7 + 10 \ cdot \ sum_n (2/3) ^ n $ span>) min. Welches ist $ 7 $ span> min + $ 2 \ cdot 10 $ span> min $ = 27 $ span>.