Frage:
Erstellen einer Uniform vor der logarithmischen Skala
Vass
2011-02-21 08:44:29 UTC
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Ein einheitlicher Prior für einen Skalenparameter (wie die Varianz) ist auf der logarithmischen Skala einheitlich.

Welche funktionale Form hat dieser Prior auf der linearen Skala? Und warum so?

Drei antworten:
#1
+15
JMS
2011-02-21 11:27:08 UTC
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Es ist nur eine Standardänderung von Variablen. Die (monotone & 1-1) Transformation ist $ y = \ exp (x) $ mit inversem $ x = \ log (y) $ und Jacobian $ \ frac {dx} {dy} = \ frac {1} {y} $.

Mit einem einheitlichen Prior von $ p_y (y) \ propto 1 $ für $ \ mathbb {R} $ erhalten wir $ p_x (x) = p_y (x (y)) | \ frac {dx } {dy} | \ propto \ frac {1} {y} $ on $ (0, \ infty) $.

Bearbeiten: Wikipedia hat ein wenig mit Transformationen von Zufallsvariablen zu tun: http://en.wikipedia.org/wiki/Probability_density_function#Dependent_variables_and_change_of_variables. Ähnliches Material wird in jedem Intro-Wahrscheinlichkeitsbuch enthalten sein. Jim Pitmans "Probability" präsentiert das Material auch auf ziemlich charakteristische Weise IIRC.

-1
#2
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probabilityislogic
2011-03-27 14:09:00 UTC
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Die Antwort von @JMS ist ausreichend für die Schrauben und Muttern sich ändernder Variablen. Diese Frage kann Ihnen jedoch ein wenig dabei helfen, warum sie auf dieser Skala einheitlich ist.

Meine Antwort auf diese Frage wird etwas länger abgeleitet des Ergebnisses der "Jacobi-Regel" in der Antwort von @ JMS. Dies kann hilfreich sein, um zu verstehen, warum die Regel gilt.

+1 für die zusätzlichen Referenzen. Meine Lieblingsableitung für die Formel zur Änderung von Variablen beginnt mit dem cdf, wie in Ihrer anderen Antwort.
@JMS - die cdf-Regel ist die einzige, mit der ich nicht verwechselt werde. Normalerweise fällt es mir schwer, mich daran zu erinnern, ob sie mit dem Jacobian $ \ frac {dy} {dx} $ oder $ \ frac {dx} {dy} $ ist
Das gleiche gilt für mich - Pitman gibt eine schöne geometrische Erklärung, weshalb ich in meiner Antwort darauf verwiesen habe, aber ich kann mich nie daran erinnern, wenn es darauf ankommt :) Als ich eine Wahrscheinlichkeitsklasse hatte, haben wir diesen Text verwendet und einige Schüler gefunden es ist sehr hilfreich.
#3
+2
Ioana Zelko
2019-06-29 00:16:14 UTC
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Uns wird gesagt, dass der Skalierungsparameter auf der logarithmischen Skala einheitlich ist. Das heißt, wenn x der Skalierungsparameter ist, dann $ y = \ log () $ span> und die Verteilungsfunktion für $ y $ span> ist die einzige Uniform auf der logarithmischen Skala, $ p_Y (y) \ propto 1 $ span>.

Wenn wir dann die Jacobi-Transformation anwenden, die sich aus der Tatsache ergibt, dass die in einem Differentialbereich enthaltene Wahrscheinlichkeit bei Änderung von Variablen unveränderlich sein muss, müssen wir $ p_X () = p_Y haben (y (x)) | \ frac {dy} {dx} | $ span>. Da $ \ frac {dy} {dx} \ propto \ frac {1} {x} $ span>, erhalten wir $ p_X () \ propto \ frac {1} {x} $ span>.

Hinweis: Ich habe versucht, dies als Kommentar zu veröffentlichen, habe jedoch keine Berechtigung zum Veröffentlichen von Kommentaren, da ich ein neuer Benutzer bin. Die aktuell akzeptierte Antwort auf die Frage (von @JMS) enthält Fehler. Ich habe versucht, die von @JMS gegebene Antwort zu bearbeiten, um die minimal erforderlichen Änderungen vorzunehmen, aber meine Bearbeitung wurde abgelehnt, weil die Leute wollten, dass ich dies als Kommentar oder als Antwort einsetze. Erstens sollte $ p _ () $ span> eine Funktion von $ x $ span> sein, keine Funktion von y. Die Art und Weise, wie @ JMS die Antwort gerade formuliert, ergibt $ p_X (x) \ propto \ frac {1} {y} $ span>. Zweitens gibt es einen Fehler in der Jacobi-Formulierung, es sollte $ p_X () = p_Y (y (x)) | \ frac {dy} {dx} | $ span sein >; Im Moment wird es als $ p_X () = p_Y (x (y)) | \ frac {dx} {dy} | $ span> angegeben. Drittens $ y = \ log () $ span>, nicht $ y = \ exp (x) $ span>, aufgrund des in dieser Antwort erläuterten Grundes.



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