Wenn Sie "wissen", dass die Münze fair ist

dann erwarten wir immer noch, dass der langfristige Anteil der Köpfe zu $ 0.5 $ span> tendiert. Dies bedeutet nicht, dass wir erwarten sollten, dass mehr (als 50%) der nächsten Flips Schwänze sind, sondern dass der anfängliche $ 500 $ span > Flips werden als $ n \ rightarrow \ infty $ span> irrelevant. Ein Streifen von $ 500 $ span> -Köpfen scheint viel zu sein (und praktisch ist es das auch), aber

• Wenn $ 250 $ span> der nächsten $ 500 $ span> Flips sind, dann sind es Köpfe der Stichprobenanteil wird $$ \ hat p = \ frac {500 + 250} {1000} = 0,75. $$ span>
• Wenn $ 250 $ span> der nächsten $ 500 $ span> Flips sind, dann sind es Köpfe ... $$ \ hat p = \ frac {500 + 250 + 250} {1500} \ ca. 0,67 $$ span>
• Wenn $ 100000 $ span> der nächsten $ 200000 $ span> Flips Köpfe sind, dann ... $$ \ hat p = \ cdots \ ca. 0,501. $$ span>

Dies ist das Gesetz der großen Zahlen.

Andererseits ...

Wenn ich im wirklichen Leben eine Münze werfen und $ 500 $ span> Köpfe hintereinander sehen würde, würde ich ernsthaft bezweifeln, dass die Münze tatsächlich fair ist. (Interessante Randnotiz, es ist schwierig (unmöglich?), Eine Münze im wirklichen Leben tatsächlich zu voreingenommen. Die einzig realistischen Werte von $ p $ sind $ 0 $ span>, $ 0,5 $ span> und $ 1 $ span>, aber wir werden dies aus Gründen der Antwort ignorieren.

Um diese Möglichkeit zu berücksichtigen, könnten wir von Anfang an ein Bayes'sches Verfahren verwenden. Anstatt $ p = 1/2 $ span> anzunehmen, nehmen wir an, wir geben die vorherige Verteilung an $$ p \ sim \ text {Beta} (\ alpha, \ alpha). $$ span>

Dies ist eine symmetrische Verteilung, die meine a priori Überzeugung kodiert, dass die Münze fair ist, dh $ E (p) = \ frac {1} {2} $ span >. Wie stark ich an diesen Begriff glaube, wird durch die Wahl von $ \ alpha $ span> angegeben, da $ Var (p) = \ frac {1} {8 (\ alpha + 0.5)} $ span>.

• $ \ alpha = 1 $ span> entspricht einer Uniform vor $ (0, 1) $ span>.
• $ \ alpha = 0.5 $ span> ist Jeffreys Prior - eine weitere beliebte nicht informative Wahl.
• Wenn Sie einen großen Wert für $ \ alpha $ span> auswählen, wird die Annahme, dass $ p = 1/2 $ ist, glaubwürdiger span>. Tatsächlich impliziert das Setzen von $ \ alpha = \ infty $ span>, dass $ Pr (p = 1/2) = 1 $ .

Wenn Sie die Bayes-Regel direkt anwenden, lautet die hintere Verteilung für $ p $ span> $$ p | y \ sim \ text {Beta} (\ alpha + y, \ alpha + n-y) $$ span> Dabei ist $ y = \ text {Anzahl der Köpfe} $ span> und $ n = \ text {Anzahl der Flips} $ span>. Wenn Sie beispielsweise $ \ alpha = 1 $ span> auswählen und $ n = y = 500 $ span> beobachten, Die hintere Verteilung wird zu $ \ text {Beta} (501, 1) $ span> und $$ E (p | y) = \ frac {\ alpha + y} {2 \ alpha + n} = \ frac {501} {502} \ ca. 0,998 $$ span> Dies zeigt an, dass ich beim nächsten Wurf auf Köpfe wetten sollte (da es höchst unwahrscheinlich ist, dass die Münze fair ist).

Dieser Aktualisierungsprozess kann nach jedem Flip angewendet werden, wobei die hintere Verteilung nach $ n $ span> als Prior für den Flip $ n + 1 $ span>. Wenn sich herausstellt, dass die $ 500 $ span> -Köpfe nur ein (astronomisch) unwahrscheinliches Ereignis waren und die Münze wirklich fair ist, wird die hintere Verteilung dies schließlich erfassen (unter Verwendung eines ähnlichen Arguments) zum vorherigen Abschnitt).

Intuition für die Auswahl von $ \ alpha $ span>: Zum besseren Verständnis der Rolle von $ \ alpha $ span> Im Bayes'schen Verfahren können wir das folgende Argument verwenden. Der Mittelwert der posterioren Verteilung entspricht der maximalen Wahrscheinlichkeitsschätzung von $ p $ span>, wenn wir die Daten mit einer Reihe von $ 2 \ alpha $ span>" hypothetische Flips ", wobei $ \ alpha $ span> dieser Flips Köpfe und $ \ alpha $ span> dieser Flips sind Schwänze. Wenn Sie $ \ alpha = 1 $ span> auswählen (wie oben beschrieben), bedeutet dies, dass die erweiterten Daten $ 501 $ span> -Köpfe sind und $ 1 $ span> Schwänze. Die Wahl eines größeren Werts von $ \ alpha $ span> legt nahe, dass mehr Beweise erforderlich sind, um unsere Überzeugungen zu ändern. Für jede endliche Auswahl von $ \ alpha $ span> werden diese "hypothetischen Flips" schließlich als $ n \ rightarrow irrelevant \ infty $ span>.

Das Gesetz der großen Zahlen besagt nicht, dass eine gewisse Kraft die Ergebnisse auf den Mittelwert zurückbringt.Es heißt, dass die Schwankungen mit zunehmender Anzahl von Versuchen immer weniger signifikant werden.

Wenn ich zum Beispiel die Münze 10 Mal werfe und 7 Köpfe bekomme, scheinen diese beiden zusätzlichen Köpfe ziemlich bedeutsam zu sein.Wenn ich die Münze 1.000.000 Mal werfe und 500.002 Köpfe bekomme, sind diese beiden zusätzlichen Köpfe fast völlig unbedeutend.

In Ihrem Beispiel werden diese 500 zusätzlichen Köpfe bei einem Versuch mit 1.000 Würfen von großer Bedeutung sein.Wenn Sie jedoch mit 10.000 Würfen fortfahren, ergeben diese 500 Köpfe nur einen Unterschied von 5%.Nach 1.000.000 Versuchen mit 50/50 Flips machen diese 500 zusätzlichen Köpfe nur einen Unterschied von 0,05% aus.Der Weg zu 1.000.000.000 Versuchen und dieser anfängliche Lauf des verrückten Glücks betrug nur einen Unterschied von 0,00005%.Sie können sehen, dass sich die Ergebnisse mit zunehmender Anzahl von Versuchen dem erwarteten Wert annähern.

Die Vorstellung, dass die eine Seite "fällig" ist, ist der "Irrtum des Spielers" auf den Punkt gebracht.Der Irrtum des Spielers ist der falsche Glaube, dass die Kurzfristigkeit die Langfristigkeit widerspiegeln muss.

Die Münze weiß nicht oder kümmert sich nicht darum, dass Sie aufhören möchten zu werfen.Für die Münze bleibt eine Unendlichkeit von Flips übrig, und gegen diese Unendlichkeit sind nur 500 überhaupt nichts.Denken Sie daran, dass, sobald ein Ergebnis beobachtet wurde, dieses Ergebnis nicht mehr zufällig ist.Das Modell p (Köpfe) = 0,5 regelt nicht die in der Vergangenheit beobachteten Werte.Jeder dieser Werte ist "Köpfe" mit der Wahrscheinlichkeit 1.

Wenn Sie das Problem angeben, halten Sie an dem Modell p (Köpfe) = 0,5 fest.Dieses Modell sagt, dass die Geschichte irrelevant ist.Man könnte irgendwann ein alternatives Modell in Betracht ziehen.

Die klare Antwort ist wohl, dass Sie es nicht tun. Die Chance, dass eine faire Münze $ 500 $ span> auf $ 500 $ span> -Flips bekommt, ist $ 1 $ span> in $ 2 ^ {500} \ ca.3 \ times10 ^ {150} $ span>. Als Referenz ist dies einer von zehn Milliarden asaṃkhyeyas, ein Wert, der in der buddhistischen und hinduistischen Theologie verwendet wird, um eine Zahl zu bezeichnen, die so groß ist, dass sie unkalkulierbar ist; Es geht um die Anzahl der Planck-Volumes in einem kubischen Parsec. Ich habe versucht, einen bissigen Vergleich "Murmeln im beobachtbaren Universum" zu finden, aber ich kann nicht. Nichts ist klein genug und das Universum ist nicht groß genug.
In Bezug auf die Wahrscheinlichkeit ist es fast eine Googol-Zeit wahrscheinlicher, ein Kartenspiel in perfekt aufsteigende Reihenfolge zu mischen, Asse niedrig, Keulen-Diamanten-Herz-Pik ( $ 1 $ span > in $ {52!} $ span>).
An diesem Punkt sollten Sie davon ausgehen, dass Sie versehentlich eine zweiköpfige Münze geworfen haben. Zweiköpfige Münzen sind nicht besonders selten. Sie sind eine sehr beliebte Neuheit. Schätzungen zufolge werden einige Zehntausende (nehmen wir zwanzigtausend an) in Umlauf gebracht - ein leichter Fehler mit einer gut gemachten Trickmünze (und völlig legal: Trickmünzen werden hergestellt, indem zwei Münzen bearbeitet und zusammengeklebt werden, aber ich würde es nicht tun). Versuchen Sie nicht zu argumentieren, dass sie das Doppelte wert sind.
Wenn derzeit 20.000 Doppelköpfe unter den rund 3,82 Milliarden US-Münzen im Umlauf sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass Sie versehentlich eine aufgenommen haben, 1 zu 191.000. Wenn es eine 99% ige Wahrscheinlichkeit gibt, dass Sie bemerken, dass die Münze keine Rückseite hat, ist das immer noch tausendmal so wahrscheinlich wie dieses Ergebnis. Mit einem Zwei-Header inmitten der 793.464.097.826 $ span> -Münzen, die seit 1890 von der US-Münzanstalt hergestellt wurden, und einer Chance von einer Billion, die Sie sich entgehen lassen würden, Das ist immer noch eine Vakuumkatastrophe, die wahrscheinlicher ist als die Alternative.

Hier gibt es bereits einige gute Antworten, aber ich wollte eine andere Art des Denkens über das Problem hinzufügen, die möglicherweise intuitiver ist als das Überprüfen der Mathematik (um die in der Frage beschriebenen Gefühle anzusprechen). Diese Argumentation gilt für eine bestimmte willkürliche Anzahl von Versuchen, geht jedoch nicht auf die Situation willkürlich mehr Versuche gegen unendlich ein. Diese werden in den bereits veröffentlichten, auf Mathematik basierenden Antworten elegant und gut behandelt.

Jeder Flip ist völlig unabhängig, sodass vorhergehende Flips keinen Einfluss auf nachfolgende Flips haben. But Sie beschreiben keine einzelnen Flips, weil Sie Informationen über frühere Testversionen auferlegen.

In diesem Szenario verwenden Sie 500 vorherige Versuche , um Ihre Gedanken über das Ergebnis des nächsten Flip zu informieren. Dies funktioniert nicht, da jeder Flip unabhängig von allen anderen ist. Wenn Sie dem Problem Informationen zu 500 vorherigen Flips auferlegen, interpretieren Sie den Prozess als Sammlung von Flips. In diesem Fall ist es möglicherweise intuitiver, Versuche nicht als einzelne Flips, sondern als Sätze von Flips zu betrachten.

Als einfacheres Beispiel haben wir acht mögliche Ergebnisse, wenn wir die Münze dreimal werfen:

• HHH

Zusammenfassend sind diese Ergebnisse:

• Drei Köpfe: 1 Kombination

Aus den zusammenfassenden Beschreibungen (bei denen die Flip-Reihenfolge keine Rolle spielt) ist es also wahrscheinlicher, dass wir ein 2: 1-Ergebnis sehen, einfach weil es sechs Einzelkombinationen gibt, die dieses Ergebnis im Vergleich zu den 3: 0-Möglichkeiten erzeugen , von denen es nur zwei mögliche Kombinationen gibt. Jede bestimmte Kombination von drei Flips wird jedoch einmal in der Liste angezeigt und ist genauso wahrscheinlich wie die anderen.

Dieselbe Logik gilt für weitere Versuche, obwohl das Auflisten der Kombinationen mühsam wird. Zum Glück müssen wir mit 500/501 Flips beginnen, die Köpfe zeigen, wenn wir eine Folge von 500 Flips mit Ergebnissen von Köpfen behaupten, die die meisten Kombinationen aus dem Bild entfernen.

Von diesem Ausgangspunkt aus sehen wir uns nun an, wie viele Ergebnisse für den verbleibenden Wurf möglich sind, und für dass wir die Grundwahrscheinlichkeit eines einzelnen Münzwurfs haben, der zwei Ergebnisse bietet:

• 500 Köpfe drehen sich und dann drehen sich weitere Köpfe
• 500 Köpfe drehen sich und dann dreht sich ein Schwanz

Jede mögliche Kombination von Flips in einem Satz mit einer bestimmten Anzahl von Einzelversuchen ist gleich wahrscheinlich, aber die Zusammenfassung jedes Satzes führt zu vielen überlappenden Ergebnissen (es gibt viele Kombinationen, die 250 Köpfe und 250 Schwänze erzeugen, da die Die Reihenfolge spielt für die Zusammenfassung keine Rolle, sondern genau eine Kombination, die alle Köpfe über alle einzelnen Versuche hinweg erzeugt.)

Es gibt nur zwei Kombinationen, die die Situation in der Frage beschreiben können: Jeder einzelne der ersten 500 Flips muss Köpfe zeigen (im Problem angenommen, also die Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses ist nicht wichtig. Nach diesen ersten 500 Flips können Sie das Ergebnis für den ersten Schwanz oder das Ergebnis für den 501. Kopf erhalten.

Das ist also mein Vorschlag, die Intuition hinter diesem Szenario zu verinnerlichen:

• Each individueller Wurf einer fairen Münze ist memorylos und völlig unabhängig, und so ist jedes Ergebnis für einen bestimmten gleich gleich wahrscheinlich flip
• The Anzahl möglicher Kombinationen von Flip-Ergebnissen über 500 Versuche sind groß, aber jede spezifische Kombination wird nur angezeigt diese Liste einmal. Jede mögliche Kombination von 500 Flips ist genau so wahrscheinlich wie jeder andere (jeder hat einen einzigen Eintrag im Möglichen Ergebnisliste)
• TEs gibt nur zwei mögliche Kombinationen von 501 Flips, die beginnen mit 500 Flips, die ein Heads-Ergebnis zeigen: einer, in dem ein anderer Heads Ergebnis tritt auf, und eines, in dem ein Schwanzergebnis auftritt.Jeder von denen Ergebnisse sind ebenso wahrscheinlich (allein durch den 501. Flip entschieden)

Das Wichtigste ist, dass Würfe IID sind.Die Realisierung kann einbezogen werden, wenn sie bei der Gestaltung Ihres Modells berücksichtigt wird.Eines der Beispiele ist, wenn Ihr Modell ein Markov-Modell ist. Tatsächlich beinhalten viele Modelle, die das Bayes'sche Framework verwenden, die Realisierung bei der Aktualisierung der Wahrscheinlichkeit.Dies ist ein großartiges Beispiel für das, was ich zuvor erwähnt habe.Der Grund, warum dies für Ihren Fall nicht gilt, da die Realisierung nicht durch das Design Ihres Modells berücksichtigt wird.

Intuition kann uns im Bereich der Unschuld oft in die Irre führen, weil Unendlichkeit in der realen Welt nicht erlebt wird.

Eine gute Faustregel, die Ihnen beim Nachdenken hilft, ist, dass jede endliche Zahl wie null bis unendlich aussieht. Eine Million Köpfe hintereinander sehen immer noch wie null bis unendlich aus. Wenn Sie "die Münze unendlich oft werfen" - was Sie nicht tun können, aber was wir wirklich meinen "weiter werfen" - dann dann eine Serie von einer Million Köpfen wird fast zur Gewissheit.

Aber Unendlichkeit ist ein kniffliges Konzept, und wir müssen hart arbeiten, um sicherzustellen, dass wir wissen, was wir sagen. Zum Beispiel meinen wir mit "es wird fast sicher": Wenn Sie mir einen Prozentsatz geben, sagen wir 99,99; Ich werde dann berechnen, wie viele Münzwürfe X Sie ausführen müssen, um eine Wahrscheinlichkeit von 99,99% zu haben, dass dort eine Million Köpfe laufen. Sie definieren, was "nahe" bedeutet - wenn Sie möchten, dass es 99,999999% beträgt, gut, werde ich einfach neu berechnen und Ihnen eine größere Anzahl Y von Münzwürfen geben. Aber selbst die Y-Flips garantieren nicht den Millionen-Kopf-Lauf. Ich garantiere nur, dass Sie, wenn Sie eine Reihe von Läufen mit Y-Flips ausführen, davon ausgehen können, dass 99,999999% von ihnen einen Lauf mit einer Million Köpfen haben (und je mehr Sie tun, desto näher an 99,999999% können wir das Ergebnis erwarten sein).

Im Universum der Möglichkeiten ist es möglich, einen Lauf mit der Anzahl der Köpfe von any zu starten. Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass, wenn Sie lange genug gehen, dieser bestimmte Lauf immer unwichtiger wird, weil so viele andere Experimente durchgeführt werden. Ja, Sie könnten eine Milliarde Köpfe hintereinander bekommen. Aber wenn Sie mir einen Prozentsatz und ein Ziel geben, wie zum Beispiel "Ich möchte zu 99,8 Prozent sicher sein, dass mein Kopf-Schwanz-Verhältnis zwischen 0,499 und 0,501 liegt, und ich weiß, dass ich mit einer Milliarde Köpfen anfange", kann ich Geben Sie eine Zahl Z an, mit der Sie eine 99,8% ige Chance haben, das zu erreichen.

Unendlichkeit ist keine Zahl.Es ist ein Konzept jenseits der Zahlen, und wenn wir darüber sprechen, müssen wir wirklich vorsichtig sein, dass wir wissen, was wir wirklich meinen, sonst werden wir uns selbst verwirren.Das Gesetz der großen Zahlen spricht darüber, was passiert, wenn N "ins Unendliche geht" (tatsächlich gegen Unendlichkeit, man "kommt nicht dorthin"), und so ist es nicht verwunderlich, dass man darüber nachdenkt, was es wirklich istWenn Sie sagen, dass dies zu einigen Fallstricken führen kann.Alles, was wir erleben, ist endlich, und wenn ein Buchhalter in der realen Welt über Ihre Schulter schaut, werden Sie immer nervöser darüber, wie viele Schwänze Sie benötigen, um "diesen Auslauf auszugleichen".Die Unendlichkeit hat die Zeit dafür, auch wenn die gesamte Lebensspanne der Menschheit dies nicht tun könnte.

Verschiedene Wahrscheinlichkeitsschulen sind etwas verwirrend, also machen wir das als Experimente am Computer.

Was ist Ihre Verwirrung ist das

1. Wenn ich in den ersten 500 Flips 300 Schwänze habe, sollte ich dann in den nächsten 500 Flips mit 200 Schwänzen rechnen?

2. Wenn ich in den ersten 200 Flips 200 Schwänze habe, sollte ich dann (nur) 300 Schwänze in den nächsten 800 Flips erwarten?

3. Wenn ich $ x $ span> -Schwänze in den ersten $ y $ span> -Flips habe, sollte Ich erwarte (nur) $ 500-x $ span> Schwänze in den nächsten $ 1000-y $ span> -Flips?

ol>

Oder wenn wir den Schwanz auf -1 und den Kopf auf +1 setzen:

Wenn ich im ersten $ y $ span> umgedreht habe, ist die Summe $ s_1 = x $ span>, sollte ich im nächsten $ ny $ span> erwarten, dass die Summe $ s_2 = -x \ frac {y} {ny ist } $ span>?

Wenn wir viele, viele Läufe umdrehen, wird bei jedem Lauf $ n $ span> umgedreht, und wir zeichnen $ s_1 $ span> und $ s_2 $ span> Wenn Ihre Aussage wahr ist, sollten wir eine schöne Zeile für festes $ y $ sehen span>, für $ s_2 = -s_1 \ frac {y} {ny} $ span>.

Hier ist ein Python-Code für Ihr Problem:

  zufällig importieren
aus matplotlib Pyplot als plt importieren


def run ():
    n_trial = 1000
    flip = 1000
    Abweichung = []
    Vorhersage = []
    für den Versuch in Reichweite (n_trial):
        Ergebnis = [random.choice ([- 1, 1]) für _ in range (flip)]
        Strom = 500
        Abweichung.anhängen (Summe (Ergebnis [: aktuell]))
        Vorhersage.Anhängen (Summe (Ergebnis [aktuell:]))

    Rückgabeabweichung, Vorhersage


Abweichung, Vorhersage = run ()
plt.scatter (Abweichung, Vorhersage)
plt.show ()
 

Das Ergebnis ist ein riesiger Ball voller Unordnung.



, was bedeutet, dass sie auch aus "experimenteller" Sicht nicht miteinander verwandt sind.

Ob Sie in der Vergangenheit viele Male eine Münze geworfen haben, spielt keine Rolle. Jedes Mal, wenn Sie eine Münze werfen, besteht eine 50% ige Chance, dass es sich um Köpfe handelt. Wenn Sie es 500 Mal werfen wollen, sollten es ungefähr 250 Mal Köpfe sein. Es gibt jedoch keine Garantie. Alle 500 Mal können Köpfe oder 0 Mal sein.

Insgesamt gesehen hätten Sie nach dem 1000. Wurf 500 bis 1000 Mal Köpfe haben können. Die genaue Kombination von Kopf und Zahl, die Sie erhalten haben, hatte die gleichen Chancen, selbst wenn die ersten 500 Flips Köpfe waren.

Um es zu visualisieren, nehmen wir an, Sie haben es viermal umgedreht. Ihre ersten beiden Flips waren H, H. Ihr Ergebnis könnte dann sein:

  H, H, H, H.
H, H, H, T.
H, H, T, H.
H, H, T, T.
 

Sie können sehen, dass Kopf und Zahl eine 50% ige Chance haben. Angenommen, das Ergebnis war H, H, H, T. Dieses Ergebnis war eines der möglichen

  H, H, H, H.
H, H, H, T < --- deine
H, H, T, H.
H, H, T, T.
H, T, H, H.
H, T, H, T.
H, T, T, H.
H, T, T, T.
T, H, H, H.
T, H, H, T.
T, H, T, T.
T, H, T, T.
T, T, H, H.
T, T, H, T.
T, T, T, H.
T, T, T, T.
 

also 16 Kombinationen. Jeder von denen hätte passieren können und einer von ihnen tat es. Nur weil Sie sagen, dass die ersten beiden H waren, ändert H nichts am Ergebnis der letzten beiden. Die ersten beiden könnten T, T oder T, H gewesen sein, und das Ergebnis der letzten beiden wäre immer noch unabhängig gewesen.