Frage:
Ursprung der seltsamen Formel für die Gleichgewichtsstandardabweichung
user862
2011-04-09 16:29:28 UTC
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In der Zeitung

M. Avellaneda und JH Lee, Statistische Arbitrage auf dem US-Aktienmarkt, Juli 2008,

im Anhang auf Seite 46, wie erhält er die Gleichgewichtsstandardabweichung wie folgt :

$$ \ sigma_ {eq} = \ sqrt {\ frac {\ text {Varianz} (\ zeta)} {1 - b ^ 2}} $$

If Jeder kennt das Papier, bitte erklären Sie.

Sehr geschätzt,

Ich habe eine weitere Frage auf demselben Papier veröffentlicht - http://stats.stackexchange.com/questions/9396/why-are-cumulative-residuals-from-regression-on-stock-and-index-returns-mean-reve. Bitte schauen Sie es sich an, wenn möglich. Vielen Dank!
Einer antworten:
#1
+15
cardinal
2011-04-09 18:32:30 UTC
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Die Autoren bieten ein einfaches Mittel zur Schätzung der Parameter eines mittelwertumkehrenden Orstein-Uhlenbeck-Prozesses über eine Regression der Renditen zu diskretisierten Zeitpunkten.

Das Modell, das sie betrachten, hat eine Darstellung als eine stochastische Differentialgleichung der Form [pg. 16, Gl. (12)] $$ \ newcommand {\ rd} {\ mathrm {d}} \ rd X (t) = \ kappa (m - X (t)) \ rd t + \ sigma \ rd W (t) $$ Dabei ist $ W (t) $ eine Standard-Brownsche Bewegung.

Die Lösung für diese SDE ist bekannt und über Itos Lemma und eine analoge Technik zur Integration von Konstanten in ODEs leicht zu finden. Die Lösung ist [S. 17, Gl. (13)] $$ X (t_0 + \ Delta t) = e ^ {- \ kappa \ Delta t} X (t_0) + (1-e ^ {- \ kappa \ Delta t}) m + \ sigma \ int_ {t_0} ^ {\, t_0 + \ Delta t} e ^ {- \ kappa (t_0 + \ Delta t - s)} \, \ rd W (s). $$

Dies ist ein Gaußscher Wert Prozess und so ist durch seinen Mittelwert und Kovarianz als Funktion der Zeit gekennzeichnet. Wenn wir "Zeit bis ins Unendliche gehen lassen" (dh $ \ Delta t \ bis \ infty $), erhalten wir einen Gleichgewichtsmittelwert und eine Varianz von $$ \ begin {align} \ mathbb {E} X (t) & = m \\ \ mathbb {V} \ mathrm {ar} (X (t)) & = \ frac {\ sigma ^ 2} {2 \ kappa} \ end {align} $$

Nun zum Anhang [unten auf Seite 45] versuchen die Autoren, die Parameter durch eine Regression unter Verwendung der diskreten Werte des Prozesses und des Modells $$ X_ {n + 1} = a + b X_n + \ zeta_ {n + 1} zu schätzen . $$

Wenn wir die Parameter $ a $ und $ b $ mit den Teilen von oben abgleichen, erhalten wir, dass $$ \ begin {align} a & = m (1 - e ^ {- \ kappa \ Delta t}) \\ b & = e ^ {- \ kappa \ Delta t} \\\ mathbb {V} \ mathrm {ar} (\ zeta) & = \ sigma ^ 2 \ frac {1-e ^ { -2 \ kappa \ Delta t}} {2 \ kappa} \ end {align} $$

Einsetzen der zweiten Gleichung in die erste und Auflösen nach $ m $ ergibt $ m = a / (1- b) $. Verwenden Sie dieselbe Substitution in der dritten Gleichung und ordnen Sie sie neu an, um $$ \ sigma ^ 2 = \ frac {\ mathbb {V} \ mathrm {ar} (\ zeta) \ cdot 2 \ kappa} {1 - b ^ 2} \ zu erhalten >, $$ Denken Sie jedoch daran, dass die Varianz der Gleichgewichtsverteilung (indem Sie weit in die Zukunft schauen) für $ X (t) $ nur $ \ sigma ^ 2/2 \ kappa $ beträgt, und dies ergibt Ihr Ergebnis.

Nachtrag : Wenn Sie sich fragen, wie der Ausdruck $$ \ mathbb {V} \ mathrm {ar} (\ zeta) = \ sigma ^ 2 \ frac {1-e ^ { -2 \ kappa \ Delta t}} {2 \ kappa} $$ wurde erhalten, und zwar über die (bemerkenswerte und schöne!) Ito-Isometrie und die Tatsache, dass ein Ito-Integral ein Nullmittelwert ist Martingal; in diesem Fall nämlich $$ \ mathbb {E} \ Big (\ sigma \ int_ {t_0} ^ {\, t_0 + \ Delta t} e ^ {- \ kappa (t_0 + \ Delta t - s)} \, \ rd W (s) \ Big) ^ 2 = \ sigma ^ 2 \ int_ {t_0} ^ {\, t_0 + \ Delta t} e ^ {- 2 \ kappa (t_0 + \ Delta t - s)} \, \ rd s $$ wo wir feststellen, dass der Integrand auf der rechten Seite quadriert wurde und wir $ \ rd W (s) $ durch $ \ rd s $ "ersetzen" können, wodurch das Problem in eines der Lösung von a umgewandelt wird Standard-Riemann-Integral.

Oh, ich war nur verwirrt mit der Substitution, als ich erfuhr, wie sie $ \ kappa = 1 $ gesetzt haben, um das zu bekommen, was überhaupt nicht der Fall ist und es ist eine einfache Substitution aus der vorherigen Gleichung. Ich habe die Ableitung der Varianz des mittleren Umkehrprozesses unter Verwendung der Ito-Isometrie verstanden. Danke für eine nette Beschreibung.
@user862: Ich dachte, es könnte eine einfache Situation wie diese sein. Aber ich dachte, der Hintergrund der Frage könnte für andere interessant genug sein, um eine kurze Darstellung zusammenzustellen. Auf diese Weise sind Frage und Antwort eigenständiger, insbesondere für den Fall, dass dieser Link jemals ausfällt.


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