Eine Möglichkeit, Ihren mgf-Ansatz für das Problem zu vereinfachen, ist die Verwendung der Potenzreihe

$$ (1-t ^ 2) ^ {- 1} = \ sum_ {j = 0} ^ {\ infty} t ^ {2j} $$ span >

Das wiederholte Differenzieren der rhs ist viel einfacher als das Differenzieren der lhs. (Beachten Sie, dass dies nur für $ | t | <1 $ span> gilt, aber da Sie bei $ t = 0 $ span differenzieren > es funktioniert immer noch). Sie sollten sehen, dass es nur eine Fakultät sein wird. Es ist jedoch wahrscheinlich noch einfacher, die Erwartung direkt zu bewerten

$$ E (X ^ {2n}) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {x ^ {2n}} {2} \ exp (- | x |) dx $$ span>

Das Ergebnis sollte eine Gammafunktion sein (dh faktoriell). Dies wird auch aus der mgf-Potenzreihe deutlich.

update In Bezug auf den mgf-Ansatz müssen wir zur Bewertung von $ E (X ^ {2n}) $ span> die rhs $ 2n $ unterscheiden span> mal. Das folgende Ergebnis ist nützlich

$$ \ frac {\ partielle ^ k x ^ {r}} {\ partielle x ^ k} = \ left ( \ begin {matrix} \ frac {r!} {(r-k)!} x ^ {r-k} & r = k, k + 1, \ dots \\ 0 & r = 1, \ dots, k-1 \ end {matrix} \Recht) $$ span>

Wenn Sie dies nun auf den Begriff $ t ^ {2j} $ span> anwenden und die Ableitung "2n-th" nehmen, haben wir $ r = 2j $ span> und $ k = 2n $ span> und $ x = t $ . Dann bekommen wir $$ \ frac {\ partiell ^ {2n} t ^ {2j}} {\ partiell t ^ {2n}} = \ left ( \ begin {matrix} \ frac {(2j)!} {(2j-2n)!} t ^ {2j-2n} & 2j = 2n, 2n + 2,2n + 4,2n + 6, \ dots \\ 0 & 2j = 0,2, \ Punkte, 2n-2 \ end {matrix} \Recht) $$ span>

Dies bedeutet, wenn wir alle Begriffe addieren, können wir dies als schreiben $$ \ sum_ {j = 0} ^ {\ infty} \ frac {\ partiell ^ {2n} t ^ {2j}} {\ partiell t ^ {2n}} = 0 + \ Punkte + 0 + (2n)! + t ^ 2 \ frac {(2n + 2)!} {2!} + t ^ 4 \ frac {(2n + 4)!} {4!} + \ Punkte $ $ span>

nur das einzelne tertm $ (2n)! $ span> ist nicht $ 0 $ span> und auch kein Vielfachesvon $ t $ span>.Wenn Sie also $ t = 0 $ span> setzen, bleibt nur dieser Begriff übrig.

Hint: Dies ist ein Beispiel für eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, die symmetrisch um Null ist:

$$ f_X (0 + x) = f_X (0-x) \ quad \ quad \ quad \ text {für alle} x \ in \ mathbb {R}. $$ span>

Visuell bedeutet dies, dass die Verteilung um die Nulllinie herum reflektiert wird und auf beiden Seiten gleich ist.Sehen Sie, ob Sie diese Eigenschaft verwenden können, um herauszufinden (und dann zu beweisen), was die ungeraden Momente wären.Die geraden Momente sind etwas kniffliger, aber prüfen Sie, ob Sie diese Eigenschaft verwenden können, um diese Momente auf eine einfachere Form zu reduzieren.

Da das OP Schwierigkeiten mit den verschiedenen Hinweisen in den Kommentaren und den anderen Antworten zu haben scheint, ist hier eine heuristische Methode, die in diesem Fall die richtige Antwort liefert. \ begin {align} E [\ exp (tX)] & = E \ left [1 + tX + \ frac {(tX) ^ 2} {2!} + \ Frac {(tX) ^ 3} {3!} + \ Cdots \ right ] \\ & = 1 + tE [X] + \ frac {t ^ 2} {2!} E [X ^ 2] + \ frac {t ^ 3} {3!} E [X ^ 3] + \ cdots \ tag { 1} \\ \ end {align} span> und wenn wir eine Potenzreihe für $ E [\ exp (tX)] = M_X (t) $ span> haben, die wir geschafft haben Finden Sie durch Haken oder Gauner und ohne die oben angezeigte Gleichung zu betrachten, da dies nur dazu dient, uns zu verwirren, können wir nur den Koeffizienten von betrachten "math-container"> $ t ^ n $ span> in der Potenzreihe, die wir haben und sagen "Hey Ma! Ich denke, dass der Koeffizient von $ t ^ n $ span> ist nur $ \ frac {1} {n!} E [X ^ n] $ span> und so kann ich $ E [X ^ n] $ span> durch Multiplizieren des Koeffizienten, den ich bereits habe, mit $ n! $ span>.

Für den speziellen Fall des OP hat er bereits festgestellt, dass $$ M_X (t) = \ frac {1} {1-t ^ 2} = 1 + t ^ 2 + t ^ 4 + \ cdots + t ^ {2n} + \ cdots \ tag {2} $$ span> (das ist der Teil "by hook or by crook") und so kann er $ (1) $ span> und $ (2) vergleichen ) $ span> um herauszufinden, was die Momente sind. Ich überlasse es dem OP, Ma mitzuteilen, dass $ E [X ^ n] = 0 $ span>, wenn $ n $ span> ist ungerade.Ob er Ma sagen möchte, was $ E [X ^ n] $ span> für gerade $ n $ span> isteine Sache, die er entscheiden muss.Der $ E [X ^ 4] = 12 $ span>, den das OP (in einem Kommentar) berechnet hat, klingt für mich nicht richtig (ich denke, das sollte es sein $ E [X ^ 4] = 4! = 24 $ span>), aber wer soll ich in die heilige Beziehung zwischen Mutter und Kind eingreifen?

Wenn Sie keine unnötigen Berechnungen durchführen möchten, können Sie mit it Ihre Verteilung als gleiche Mischung eines Exponentials und seines Negativs anzeigen:

$$ \ frac {1} {2} e ^ {- | x |} = \ frac {1} {2} e ^ {- x} \, \ mathcal {I} (x \ gt 0) + \ frac {1} {2} e ^ {x} \, \ mathcal {I} (x \ lt 0). $$ span>

Weil $ ((- 1) ^ n + (1) ^ n) / 2 $ span> entweder $ - ist 1 + 1 = 0 $ span> oder $ (1 + 1) / 2 = 2/2 = 1 $ span> als $ n $ span> ist ungerade bzw. gerade, die ungeraden Momente Ihrer Verteilung sind Null und die geraden Momente sind die gleichen wie die des Exponentials. Aber per Definition die geraden Exponentielle Momente sind

$$ \ mu_ {2k} = \ int_0 ^ \ infty x ^ {2k} e ^ {- x} \ mathrm {d} x = \ Gamma (2k + 1 ) = (2k)! $$ span>

Da dies keine schwierigere Berechnung als $ 1 + 1 = 2, $ span> erfordert, ist eine einfachere Lösung kaum vorstellbar.

Wenn Sie stattdessen den momentgenerierenden Ansatz verfolgen möchten, stellt zunächst fest, dass die mgf der Exponentialverteilung $$ \ phi (t) = \ int_0 ^ \ infty e ist ^ {tx} e ^ {- x} \ mathrm {d} x = \ int_0 ^ \ infty e ^ {- (1-t) x} \ mathrm {d} x = \ frac {1} {1-t} . $$ span> Somit ist die mgf dieser Mischung

$$ (\ phi (t) + \ phi (-t)) / 2 = \ frac {1} {2} \ left (\ frac {1} {1 -t} + \ frac {1} {1 - (- t)} \ right) = \ frac {1} {1-t ^ 2}. $$ span>

Dies ist eine Analyse in der Nähe von $ 0 $ span> und entspricht daher der Potenzreihenerweiterung, die durch den Binomialsatz als

$$ \ frac {1} {1-t ^ 2} = (1 + (-t ^ 2)) ^ {- 1} = \ sum_ {k = 0 } ^ \ infty \ binom {-1} {k} (-t ^ 2) ^ k = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty t ^ {2k} = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ color {rot} {(2k)!} \, \ color {grau} {\ frac {t ^ {2k}} {(2k)!}}, $$ span>

von dem Sie die Momente als Koeffizienten von $ t ^ n / n !: $ span> ablesen können, sehen wir wieder, dass sie für die ungeraden Momente und $ (2k)! $ span> für gerade Momente.

Also habe ich die erste, zweite, dritte und vierte Ableitung berechnet. Ich habe $ E (X ^ 1) = 0 $ span>, $ E (X ^ 2) = 2 $ span >, $ E (X ^ 3) = 0 $ span> und $ E (X ^ 4) = 12 $ span>. Diese Ableitungen sind zu diesem Zeitpunkt ziemlich lang zu berechnen, daher frage ich mich, ob es einen einfacheren Weg gibt, eine Formel für die Evens zu erhalten.

Sie können die Taylor-Serienerweiterung verwenden:

$$ \ frac {1} {1-t ^ 2} = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty t ^ {2k} $$ span>

Dies ist jedoch eine zirkuläre Argumentation, da die Erweiterung der Taylor-Reihe selbst durch Berechnung der Ableitungen abgeleitet wird. In diesem Fall können Sie genauso gut direkt eine Formel für die Momente höherer Ordnung der Laplace-Verteilung nachschlagen.

Möglicherweise stellen Sie fest, dass die Taylor-Reihenerweiterung indirekt erfolgt - ohne $ f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty f ^ {(n)} / n! t ^ k $ span> - Verwenden Sie stattdessen die Formel für eine geometrische Reihe.

Sie können die Ableitungen jedoch auch manuell ableiten (dh einfache Berechnung mit Kettenregel und Produktregel). Wenn Sie sich das Muster der Begriffe ansehen, werden Sie feststellen, dass viele der Begriffe Null und a werden es entsteht ein regelmäßiges Muster.

Angenommen, wir ersetzen $ u = t ^ 2 $ span>, dann sieht die Ableitung einfacher aus:

$$ \ frac {\ text {d} ^ n} {\ text {d} u ^ n} \ frac {1} {(1-u)} = \ frac {n!} {(1-u) ^ n} $$ span>

Verwenden Sie nun die Formel Faà di Bruno (Kettenregel, die dann mehrmals angewendet wird):

$$ \ frac {\ text {d} ^ n} {\ text {d} t ^ n} \ frac {1} {(1-u)} = \ sum_ {k = 1} ^ n \ frac {k!} {(1-u) ^ k} \ cdot B_ {n, k} (2t, 2,0, ..., 0) $$ span>

wobei $ B_ {n, k} $ span> sich auf Bell-Polynome bezieht. Die meisten Begriffe sind Null und Sie erhalten

$$ \ frac {\ text {d} ^ {2n}} {\ text {d} t ^ {2n}} \ frac {1} {(1-t^ 2)} = \ sum_ {k = 0} ^ n c_ {nk} \ frac {t ^ {2k}} {(1-t ^ 2) ^ {1 + n + k}} $$ span>

mit

$$ c_ {nk} = 2 ^ {2k} \ frac {(2n)!\ cdot (n + k)!} {(n-k)!\ cdot (2k)!} $$ span>

und für den Wert bei $ t = 0 $ span> haben Sie

$$ \ frac {\ text {d} ^ {2n}} {\ text {d} t ^ {2n}} \ frac {1} {(1-t^ 2)} = c_ {n0} = (2n)!$$ span>