Frage:
$ \ operatorname {Var} (X ^ 2) $, wenn $ \ operatorname {Var} (X) = \ sigma ^ 2 $
MYaseen208
2011-05-05 08:42:06 UTC
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Was wäre $ \ operatorname {Var} (X ^ 2) $ span>, wenn $ \ operatorname {Var} (X) = \ sigma ^ 2 $ span>?

$ Var [X] \ stackrel {d} {=} \ mathbb {E} [X ^ 2] - (\ mathbb {E} [X]) ^ 2 \ zu Var [X ^ 2] = \ mathbb {E} [X ^ 4] - (\ mathbb {E} [X ^ 2]) ^ 2 $ oder vielleicht noch verwirrender $ Var [X ^ 2] = \ mathbb {E} [X ^ 4] - (Var [X ^ 2] + (\ mathbb {E} [X]) ^ 2) $
Im Allgemeinen gibt es keine leicht verfügbare Formel. Sie können die Delta-Methode verwenden, um die Annäherung zu erhalten: Hier ist [die relevante Frage] (http://stats.stackexchange.com/questions/5782/variance-of-a-function-of-one-random-variable/5790# 5790).
Vier antworten:
#1
+13
Nick Sabbe
2011-05-05 11:35:13 UTC
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Als einfaches Beispiel für die Antworten von @ user2168 und @mpiktas: Die Varianz des Wertesatzes 1,2,3 beträgt 0,67, während die Varianz seines Quadrats 10,89 beträgt. Andererseits beträgt die Varianz von 2,3,4 ebenfalls 0,67, aber die Varianz der Quadrate beträgt 24,22.

Dies sind nur Varianzen für endliche Datensätze, aber die Idee erstreckt sich auf Verteilungen.

Ein weiteres ähnliches Beispiel: Wenn +1 und -1 gleich wahrscheinlich sind, ist die Varianz 1, aber die Varianz der Quadrate ist 0; Wenn 0 und 2 gleich wahrscheinlich sind, ist die Varianz wieder 1, aber die Varianz der Quadrate ist 4.
#2
+4
by Taylor
2012-02-02 21:28:46 UTC
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Fehlerausbreitung über Taylors Regel (auch bekannt als "Delta" -Methode) -

$$ \ operatorname {Var} (X ^ 2) \ ca. 4 \ Operatorname {\ mathbb {E}} (X) ^ 2 \ Operatorname {Var} (X) $$ span>

Meinen Sie $ 4 E (X) ^ 2 Var (X) $?
Hmmm ... Ich frage mich, was bei der Delta-Methode passiert, wenn $ E (x) = 0 $ ist, wie bei der Standardnormalverteilung ;-).
@whuber - Sie können der Taylor-Erweiterung, die der Delta-Methode zugrunde liegt, einen weiteren Begriff hinzufügen. Wenn Sie dies tun, erhalten Sie $ \ text {Var} (X ^ 2) \ approx \ mu_4 (X) $, den vierten zentralen Moment von $ X $.
@Elvis - Sie haben Recht; Ich habe die Formatierung korrigiert, um es klarer zu machen.
@Elvis, nein, ich meinte X ^ 2, aber Sie machen einen guten Punkt. Dies gilt nur für heteroskedastische Fehler, also nicht sehr nützlich für die eigentliche Frage, die gestellt wurde!
?! $ \ mathrm {Var} \ left (X ^ 2 \ right) = 4 X ^ 2 \ mathrm {Var} (X) $ macht keinen Sinn, auf der linken Seite haben Sie eine Konstante und auf der rechten Seite einen Zufall Variable.
#3
+1
Acccumulation
2018-12-19 03:09:12 UTC
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Es ist leicht zu erkennen, dass die Beziehung zwischen dann nicht konstant ist, wenn Sie $ X '= X + c $ span> nehmen.Das Verschieben einer Verteilung um eine Konstante wirkt sich nicht auf die Varianz aus, aber $ Var ((X + c) ^ 2) $ span> kann beliebig groß gemacht werden. $ Var (X ^ 2) $ span> ist eine Statistik vierter Ordnung (dh eine Kombination von Momenten der Ordnung vier und kleiner) und kann nicht in Form von niedriger geschrieben werdenAuftragsstatistiken wie Varianz und Mittelwert.

#4
-1
yupbank
2018-12-18 21:26:34 UTC
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Fehlerausbreitung über Taylors Regel (auch bekannt als "Delta" -Methode) -

$$ \ operatorname {Var} (X ^ 2) \ ca. 4 \ operatorname {\ mathbb {E}} (X) ^ 2 \ operatorname {Var} (X)- \ operatorname {Var} (X) ^ 2 $$ span>

Entschuldigung, ich habe die Taylor-Regel in einer zusätzlichen Reihenfolge erweitert, da die Annäherung an den $ \ operatorname {Var} (X) $ span> linear ein Problem mit meinem verursacht hatAlgorithmus, dachte, es würde anderen Menschen helfen zu erkennen, dass es nicht linear ist ...

-1 Sie schlagen eine Lösung vor, die * negativ * ist, wenn $ E (X) $ ausreichend klein ist, was Sie unangenehm machen sollte, und Sie schlagen fälschlicherweise auch vor, dass es eine "genaue Lösung" gibt.Es gibt keine universelle Lösung ohne eine explizite Annahme über $ E (X ^ 4). $
Entschuldigung, ich bin auf diese Antwort gestoßen: https://stats.stackexchange.com/questions/5782/variance-of-a-function-of-one-random-variable/5790#5790, die \ begin {align} haben Var (f (X)) = [f '(EX)] ^ 2Var (X) - \ frac {[f' '(EX)] ^ 2} {4} Var ^ 2 (X) + \ tilde {T}_3 \ end {align}.Ich habe nur \ begin {align} \ text {Var} (X ^ 2) \ ca. 4 \ mathbb {E} (X) ^ 2 \ text {Var} (X) \ end {align} verwendet und bin auf Probleme gestoßen.und Sie haben Recht, da $ \ tilde {T} _3 $ mehr als f '' '(EX) * etwas enthält, aber (f' '' (EX) + etwas) * etwas


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