Was ist der Unterschied zwischen konvexen, nicht konvexen, konkaven und nicht konkaven Funktionen?Wie werden wir erfahren, dass die gegebene Funktion konvex oder nicht konvex ist?und wenn eine Funktion nicht konvex ist, wird sie notwendigerweise konkav sein? Vielen Dank im Voraus
Eine konvexe Funktion hat ein Minimum - eine nette Eigenschaft, da ein Optimierungsalgorithmus nicht in einem lokalen Minimum stecken bleibt, das kein globales Minimum ist.Nehmen Sie zum Beispiel $ x ^ 2 - 1 $:
Eine nicht konvexe Funktion ist wellig - hat einige 'Täler' (lokale Minima), die nicht so tief sind wie das insgesamt tiefste 'Tal' (globales Minimum).Optimierungsalgorithmen können im lokalen Minimum stecken bleiben, und es kann schwierig sein zu sagen, wann dies geschieht.Nehmen Sie $ x ^ 4 + x ^ 3 -2x ^ 2 -2x $, zum Beispiel:
Eine konkave Funktion ist das Negativ einer konvexen Funktion.Nehmen Sie zum Beispiel $ -x ^ 2 $:
Eine nicht konkave Funktion ist kein weit verbreiteter Begriff, und es reicht zu sagen, dass es sich um eine Funktion handelt, die nicht konkav ist - obwohl ich gesehen habe, dass sie sich auf nicht konvexe Funktionen bezieht.Ich würde mir darüber keine Sorgen machen.
Um eine konvexe Funktion zu definieren, benötigen Sie eine konvexe Menge $ X $ als Domäne und $ \ mathbb {R} $ als Codomäne.
Eine Funktion ist konvex, wenn sie die folgende Eigenschaft erfüllt:
$$ \ für alle x_1, x_2 \ in X, \ für alle t \ in [0,1], f (tx_1 + (1-t) x_2) \ le tf (x_1) + (1-t) f (x_2 ) $$
Sie sollten die Wikipedia -Seite der konvexen Funktion durchlesen.
In einer Dimension können Sie die Dimension so visualisieren, dass die gerade Linie immer gleich oder über dem Diagramm ist, wenn Sie zwei beliebige Punkte in der Domäne auswählen und diese mit einer geraden Linie verbinden.
Ich persönlich finde die folgende Eigenschaft zum Überprüfen der konvexen Eigenschaft unglaublich nützlich:
"Eine kontinuierliche, zweimal differenzierbare Funktion mehrerer Variablen ist in einer konvexen Menge genau dann konvex, wenn ihre hessische Matrix der zweiten partiellen Ableitungen im Inneren der konvexen Menge positiv semidefinit ist."
Eine Funktion ist nicht konvex, wenn die Funktion keine konvexe Funktion ist.
Eine Funktion, $ g $, ist konkav, wenn $ -g $ eine konvexe Funktion ist.
Eine Funktion ist nicht konkav, wenn die Funktion keine konkave Funktion ist.
Beachten Sie, dass eine Funktion gleichzeitig konvex und konkav sein kann. Eine gerade Linie ist sowohl konvex als auch konkav.
Eine nicht konvexe Funktion muss keine konkave Funktion sein. Zum Beispiel ist die Funktion $ f (x) = x (x-1) (x + 1) $ auf $ [- 1,1] $ definiert.