Frage:
So berechnen Sie die Anzahl der Sätze in Sigma Algebra
Nemo
2019-11-18 10:35:24 UTC
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Das Beispiel 1.2.2 des Buches Statistical Inference von Casella und Berger besagt: Wenn S n Elemente hat, gibt es 2 ^ n Mengen ... (siehe Anhang).

Könnten Sie bitte erklären, wie die Autoren diese Formel abgeleitet haben?Vielen Dank.

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In der Mengenlehre ist die Kardinalzahl $ 2 ^ n $ * definiert * als die Kardinalität der Menge von Funktionen von einer Menge von $ n $ Elementen zu einer Menge von $ 2 $ Elementen.Das Schreiben des letzteren Satzes als $ \ {0,1 \} $ (ohne Verlust der Allgemeinheit) zeigt, dass diese Funktionen mit den Indikatorfunktionen auf $ \ mathcal B $ identifiziert werden können - aber eine Indikatorfunktion wird bestimmt durch und bestimmt,die Teilmenge von $ \ mathcal B $, auf der es $ 1 entspricht, $ * QED. * Auf diese Weise macht die zitierte Aussage auch dann Sinn, wenn $ \ mathcal B $ zählbar * unendlich * ist.
Drei antworten:
gunes
2019-11-18 11:37:45 UTC
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Dies ist die Anzahl der Teilmengen einer bestimmten Menge.Während der Erstellung einer Teilmenge haben wir zwei Möglichkeiten für jedes Element in der Menge, d. H. Nehmen Sie es oder lassen Sie es.Für $ n $ span> -Elemente haben wir $ 2 \ times2 ... 2 = 2 ^ n $ span> Auswahlmöglichkeiten.Es gibt also $ 2 ^ n $ span> verschiedene Teilmengen einer bestimmten Menge.

Danke, @gunes.Ihre Antwort war so elegant.Es wäre perfekt, wenn Sie bitte darauf hinweisen könnten, warum die Multiplikation (aber nicht die Addition) verwendet wurde, dh 2 x 2 x ... x 2 (anstelle von 2 + 2 + ... + 2).
Dies ist eines der Grundprinzipien des Zählens.Wenn Sie $ k $ verschiedene Möglichkeiten einer Variablen und $ m $ verschiedene Möglichkeiten für eine andere haben, gibt es $ km $ Möglichkeiten für das Tupel.
@gunes Dieses Prinzip hat tatsächlich einen eigenen Namen: https://en.wikipedia.org/wiki/Rule_of_product
knrumsey
2019-11-18 14:21:09 UTC
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Obwohl ich persönlich ein Fan der Antwort von @gunes (+1) wegen ihrer Einfachheit bin, ist es erwähnenswert, eine alternative Beweismethode zu erwähnen.

Die Anzahl der Teilmengen von $ S $ span>, die aus genau $ k $ span> -Elementen bestehen, ist "n wählen"k ", dh
$$ \ binom {n} {k} = \ frac {n!} {k! (n-k)!}. $$ span>

Somit ist die Gesamtzahl der Teilmengen durch

gegeben

$$ \ begin {align *} | \ mathcal B |& = \ sum_ {k = 0} ^ n \ binom {n} {k} \\ [1.2ex] & = \ sum_ {k = 0} ^ n \ binom {n} {k} \ mal 1 ^ k \ mal 1 ^ {n-k} \\ [1.2ex] & = (1 + 1) ^ n \\ [1.2ex] & = 2 ^ n \ end {align *} $$ span> wobei die vorletzte Gleichheit auf den Binomialsatz zurückzuführen ist.

Vielen Dank an @knrumsey, dass Sie mir eine andere Perspektive gezeigt haben.Ihre Antwort sieht aus wie ein strenger Beweis, ist aber leider zu komplex für mich (nicht stark in Mathematik), um zu folgen.Ich bin nicht sicher, was | S |ist (absoluter Wert von S?) und woher die Gleichheit (die auf | S | folgt) kommt.Ich bin auch verwirrt über die Schaltpositionen von n und k, dh n wähle k (n k) und k wähle n (k n).Ich werde hoffentlich eines Tages auf Ihren Beitrag zurückkommen und ihn verstehen.
@Nemo | S |bezeichnet die Anzahl der Elemente in Menge S. Der Schalter (k, n) ist ein Tippfehler.Und Sie müssen den Binomialsatz nachschlagen, d. H. $ (X + y) ^ n $, um dies besser zu verstehen.
Dies ist nicht "strenger" als die Antwort von @gunes.Es zeigt nur ein stärkeres Ergebnis (das das OP nicht benötigt) und leitet dann die Größe des Leistungssatzes ab.
@Nemo Ich möchte Sie nicht entmutigen, aber wenn dies für Sie zu komplex ist, sollten Sie in Betracht ziehen, Ihre Grundlagen zu verbessern, bevor Sie Casella und Berger angreifen.Während Sigma-Algebra-Zeug nach dem ersten Einführungskapitel keine allzu große Rolle spielt (es sei denn, sie haben dies geändert, seit ich das Buch durchgesehen habe), sollten die in dieser Antwort dargelegten Argumente etwas sein, dem Sie folgen können, wenn Sie möchtenum durch das Kapitel über diskrete Verteilungen zu kommen.
Danke, @Dason.Das ist eine tolle Idee.Könnten Sie mir bitte mitteilen, welches Buch mich schnell auf den neuesten Stand von Casella und Berger bringen würde?
Mitjackson
2019-11-18 22:12:32 UTC
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Dies wird als Power Set bezeichnet.

Die anderen Antworten enthalten Informationen auf der verlinkten Wikipedia-Seite, obwohl keine überraschenderweise den Begriff "Power Set" enthält.Ich denke, dies beantwortet eine Frage, die nicht gestellt wurde, aber die Antwort auf folgende Frage wissen muss: 'Wie heißt der $ \ mathcal B $ span>?'Wenn Nemo wüsste, wie es heißt, würde Nemo diese Frage nicht einmal stellen, da Nemo stattdessen in Google oder Wikipedia nach "Anzahl der Elemente in Power Set" suchen würde.

+1 @Mitjackson für das neue Konzept (für mich).In der Tat wusste ich nicht, dass B Power Set heißt.Das Buch (Statistical Inference) nannte es Sigma Algebra (oder Borel-Feld).Vielen Dank für den Hinweis.
@Nemo, $ \ mathcal B $ ist die eingestellte Potenz, da $ S $ * endlich * ist.Beachten Sie, dass eine Sigma-Algebra nicht immer der eingestellten Leistung entspricht.Wenn beispielsweise $ S = \ mathbb R $ ist, entspricht das Borel-Feld ** nicht ** der eingestellten Leistung.


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