Angenommen, Sie zeichnen eine gleichmäßig verteilte Zufallszahl zwischen 0 und 1 n Mal. Wie würde man vorgehen, um die erwartete minimale Anzahl zu berechnen, die nach n Versuchen gezogen wurde?
Wie würde man außerdem ein Konfidenzintervall berechnen, um anzugeben, dass die gezeichnete Mindestanzahl im Intervall [a, b] mit m% Konfidenz liegt?
Sie suchen nach Bestellstatistiken. Das Wiki zeigt an, dass die Verteilung der Mindestziehung aus einer gleichmäßigen Verteilung zwischen 0 und 1 nach $ n $ -Versuchen eine Beta-Verteilung ist (ich habe sie nicht auf Richtigkeit überprüft, was Sie wahrscheinlich tun sollten.). Insbesondere sei $ U _ {(1)} $ die Mindestbestellungsstatistik. Dann:
$ U _ {(1)} \ sim B (1, n) $
Daher ist der Mittelwert $ \ frac {1} {1 + n} $. Sie können die Beta-Distribution verwenden, um $ a $ und $ b $ so zu identifizieren, dass
$ Prob (a \ le U _ {(1)} \ le b) = 0,95 $.
Übrigens ist die Verwendung des Begriffs Konfidenzintervall in diesem Zusammenhang nicht angemessen, da Sie keine Inferenz durchführen.
Update
Es ist nicht einfach, $ a $ und $ b $ so zu berechnen, dass $ Prob (a \ le U _ {(1)} \ le b) = 0,95 $ ist. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, wie Sie $ a $ und $ b $ berechnen können. Ein Ansatz besteht darin, das Intervall um den Mittelwert zu zentrieren. Bei diesem Ansatz würden Sie Folgendes festlegen:
$ a = \ mu - \ delta $ und
$ b = \ mu + \ delta $
wobei
$ \ mu = \ frac {1} {1 + n} $.
Sie würden dann $ \ delta $ so berechnen, dass die erforderliche Wahrscheinlichkeit 0,95 beträgt. Beachten Sie, dass Sie bei diesem Ansatz möglicherweise kein symmetrisches Intervall um den Mittelwert für hohe $ n $ identifizieren können, aber dies ist nur meine Vermutung.
Wie Srikant vorschlägt, müssen Sie sich die Bestellstatistik ansehen.
Um Srikants Antwort zu ergänzen, können Sie diesen Vorgang einfach in R:
n = 10N = 1000; sims = numerisch (N) für (i in 1: N) sims [i] = min (runif (n)) hist (sims, freq = FALSE) x = seq (0, 1,0.01) Zeilen (x, dbeta (x, 1, n), col = 2) Um
Alternativtext http: // zu erhalten img441.imageshack.us/img441/6826/tmpe.jpg
Leichter Exkurs
Diese Frage bezieht sich auf eine von meinen Lieblingsstatistikproblemen das deutsche Panzerproblem. Dieses Problem betrifft das Maximum gleichmäßiger Verteilungen und kann wie folgt zusammengefasst werden:
Angenommen, man ist ein alliierter Intelligenzanalytiker während des Zweiten Weltkriegs und hat einige Seriennummern von erbeuteten deutschen Panzern. Nehmen wir weiter an, dass die Panzer fortlaufend von 1 bis N nummeriert sind. Wie schätzt man die Gesamtzahl der Panzer?
Entnommen aus Wikipedia
Weitere Informationen finden Sie auf der Wikipedia-Seite .
Nach @Srikant kann man die CDF der Beta-Verteilung berechnen und Bedingungen für $ a, b $ finden, so dass das Intervall $ [a, b] $ das Minimum von $ n $ Draws einer Uniform mit 95 enthält % Wahrscheinlichkeit. Die Bedingung ist: $ (1-a) ^ n - (1-b) ^ n = 0,95 $. Eine attraktive Wahl wäre dann das Intervall $ [0,1 - 0,05 ^ {1 / n}] $. Dies ist auch das kleinste Intervall mit der gewünschten Eigenschaft.