Frage:
Das Anzeigen von $ \ mathbb {E} [T_n] = \ theta \ mathbb {E} _1 [T_n] $ ist skalierungsäquivariante?
user7045
2012-08-20 11:22:13 UTC
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Dies ist Frage 5 von Staudte und Sheather (1990), Robuste Schätzung und Prüfung.

Sei $ X_1, \ ldots, X_n $ mit $$ F_ \ theta = F (\ frac {x} {\ theta}), \ quad x>0; \ theta>0. $$ Angenommen, $ T_n = T_n (X_1, \ ldots, X_n) $ ist skalierungsäquivariante. Zeigen Sie, dass $$ \ mathbb {E} [T_n] = \ theta \ mathbb {E} _1 [T_n] $$.

Mit $ \ int_a ^ bf (u) du = \ sum_ {k = a} ^ b $ und $ X \ rightarrow \ theta X $ versuche ich, die Frage wie folgt zu beantworten: \ begin { ausgerichtet} \ mathbb {E} [T_n] & = \ int T_n dF (X_n) \\ & = \ sum_x T_n P (X) & = \ frac {1} {n} [\ theta X_1 +, \ ldots, + \ theta X_n] \\ & = \ theta \ frac {1} {n} [X_1 +, \ ldots, + X_n] \\ & = \ theta \ sum_x T_n P (X) \\ & = \ theta \ int T_n dF (X_n) \\ & = \ theta \ mathbb {E} [T_n] \ end {align}

Ist mein Training korrekt? Wenn nicht, wo und warum habe ich mich geirrt?

Ich sollte auch darauf hinweisen, dass dies keine Zuweisungsfrage ist. Ich muss dieses Buch studieren, um Hintergrundwissen in robusten Statistiken zu erlangen.

Ich folge einigen der Gleichungen, die Sie geschrieben haben, nicht. Einige Dinge scheinen zu fehlen. Der Schlüssel hier ist, die Definitionen von * Skalenfamilie * und * Skalenäquivariante * zu verstehen und dann die beiden zu verbinden. Für explizite Berechnungen wird nur sehr wenig benötigt.
@cardinal, Ich verstehe das Thema nicht vollständig und deshalb ist die Frage wahrscheinlich unklar. Aber ein sehr nützlicher Kommentar; Ich werde tiefer in die Waagenfamilie eintauchen
Kein Problem. Mein vorheriger Kommentar war etwas knapp. Was ich meinte war mehr, dass Dinge wie $ \ int_a ^ bf (u) \, \ mathrm du = \ sum_ {k = a} ^ b $ und $ [X_1 +, \ ldots, + X_n] $ mathematische Notation sind, aber mit eine unklare Bedeutung (für mich). (Zum Beispiel gibt es im ersten Fall keine tatsächliche Menge auf der rechten Seite.) Was Sie fragen, ist jedoch klar, und MansT hat die richtige Richtung angegeben. Wenn Sie weitere Fragen haben, während Sie versuchen, die Konzepte zu verstehen, sollten Sie sie veröffentlichen. :) :)
Zwei antworten:
MånsT
2012-08-20 20:30:09 UTC
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Ihre Zufallsvariablen gehören zu einer sogenannten Skalenfamilie. Der erste Schritt sollte sein, zu zeigen, dass wenn $ X \ sim F_1 $, dann $ \ theta \ cdot X \ sim F_ \ theta $.

Eine Statistik $ T_n (X_1, \ ldots, X_n) $ ist wird normalerweise als skalierungsinvariant bezeichnet, wenn $$ T_n (\ theta X_1, \ ldots, \ theta X_n) = T_n (X_1, \ ldots, X_n), $$ dh Wenn beim erneuten Skalieren der Daten die Statistik unverändert bleibt, wird manchmal angenommen, dass $$ T_n (\ Theta X_1, \ ldots, \ Theta X_n) = \ Theta T_n (X_1, \ ldots, X_n), $$ d.h. dass die Statistik "richtig skaliert", was hier der Fall zu sein scheint. Wenn ich Ihre Notation richtig verstehe, möchten Sie zeigen, dass dies auch für den erwarteten Wert gilt.

Lassen Sie $ X \ sim F_ \ theta $ und $ Y = \ frac {1} {\ theta } X \ sim F_1 $. Dann können Sie zeigen, dass

$$ \ mathbb {E} _ \ theta (T_n) = \ mathbb {E} _ \ theta T_n (X_1, \ ldots, X_n) = \ mathbb {E} _ \ theta \ theta T_n \ Big (\ frac {1} {\ theta} X_1, \ ldots, \ frac {1} {\ theta} X_n \ Big) \\ = \ mathbb {E} _1 \ theta T_n (Y_1, \ ldots, Y_n) = \ theta \ cdot \ mathbb {E} _1 (T_n). $$

Der entscheidende Schritt besteht darin, die Gleichheit im Zeilenumbruch anzuzeigen.

Haben Sie bemerkt, dass der Titel und die Frage "äquivariant" und nicht "invariant" verwenden?
@manst, das ist sehr hilfreich. Ich werde den ersten Schritt versuchen und von dort aus weitermachen.
@whuber: ja, aber es wurde mit Invarianz markiert und ich habe die beiden Wörter als Synonyme verwendet gesehen. Ich wollte nur mögliche Missverständnisse vermeiden :)
Guter Punkt über das Tag. Die Wörter sind keine Synonyme, wie Sie geschickt diskutieren.
user7045
2012-09-04 08:27:32 UTC
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Der Vollständigkeit halber ist hier die Lösung (Hinzufügen der fehlenden Schritte, über die @manst nachdenken sollte).

\ begin {align *} \ mathbb {E} _ \ theta [T_n] & = \ int \ ldots \ int t_n (x_1, \ ldots, x_n) f_ \ theta (x_1), \ ldots, f_ \ theta (x_n) \ text {d} x_1, \ ldots, \ text {d} x_n \\ \ end {align *} Da $ F_ \ theta (x) = F (\ frac {x} {\ theta}) $, können wir $ f_ \ theta (x) = \ frac {1} {\ theta} f ( \ frac {x} {\ theta}) $, wobei $ f (u) = F '(u) $ \ begin {align *} & = \ int \ ldots \ int t_n (x_1, \ ldots, x_n) \ frac {1} {\ theta} f \ left (\ frac {x_1} {\ theta} \ right), \ ldots, \ frac {1} {\ theta} f \ left (\ frac {x_n} {\ theta} \ rechts) \ text {d} x_1, \ ldots, \ text {d} x_n \\\ end {align *} lass $ \ textbf {u} = \ textbf {x} / \ theta $ oder $ \ theta \ textbf { u} = \ textbf {x} $ \ begin {align *} & = \ int \ ldots \ int t_n (\ theta u_1, \ ldots, \ theta u_n) \ frac {1} {\ theta} f (u_1), \ ldots, \ frac {1} {\ theta} f (u_n) \ theta du_1, \ ldots, \ theta du_n \\ & = \ int \ ldots \ int t_n (\ theta u_1, \ ldots, \ theta u_n) \ f (u_1), \ ldots, f (u_n ) du_1, \ ldots, du_n \\ & = \ theta \ int \ ldots \ int t_n (u_1, \ ldots, u_n) \ f (u_1), \ ldots, f (u_n) du_1, \ ldots, du_n \\ & = \ theta \ mathbb {E} _1 [T_n] \ end {align *}



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